Apa definisi tepat dari Random K-SAT?


12

Ada 4 batasan berbeda yang bisa kita miliki ketika mendefinisikan K-SAT Acak.
1) Jumlah total literal dalam klausa tertentu persis K atau AT paling banyak K
2) Literal yang diberikan dapat digunakan dengan atau tanpa penggantian dalam klausa yang sama (A atau A atau A)
3) Variabel yang diberikan dapat digunakan dengan atau tanpa penggantian dalam klausa yang sama (A atau ~ A atau ~ A)
4) Klausa yang diberikan dapat digunakan dengan atau tanpa penggantian dalam formula tertentu
Apa definisi paling "benar"? Apa kontra dan kelebihan dari menggunakan definisi yang berbeda ini?


17
Saya tidak berpikir bahwa ada satu definisi yang diterima secara universal.
Tsuyoshi Ito

5
Namun pilihan lain yang berbeda yang dapat Anda buat adalah apakah memilih sejumlah klausa yang tetap (dengan atau tanpa penggantian) atau memilih sampel Poisson (setiap klausa disertakan secara independen dengan probabilitas tetap).
David Eppstein

4
@ Tsuyoshi, Geekster: Saya setuju dengan Tsuyoshi, sejauh yang saya tahu SAT Solver tidak memerlukan definisi Random k-SAT, teknik apa pun yang mereka gunakan (DPLL, pencarian lokal, propagasi survei). Saya 100% yakin bahwa SAT Solver yang serius akan menghapus klausa yang digandakan, klausa tautologis, dan duplikat literal sebelum memulai pencarian. Beberapa pemecah juga menghapus klausa yang dimasukkan.
Giorgio Camerani

4
Saya tidak berpikir bahwa ada jawaban untuk pertanyaan dalam bentuk saat ini karena tidak ada definisi yang tampak "lebih benar" daripada yang lain dan "kontra dan pro" mungkin tergantung pada apa yang ingin Anda gunakan pada hasil k-SAT acak untuk. Saya memilih untuk menutupnya bukan pertanyaan nyata.
Tsuyoshi Ito

4
Saya kira pertanyaannya dapat disajikan kembali, dihapus bagian "paling benar", dan berkonsentrasi pada kontra dan pro di bawah beberapa hasil spesifik. (Atau jawabannya bisa melalui setiap hasil yang mungkin.) Karena pertanyaan ini entah bagaimana mirip dengan pertanyaan tentang pemotongan paling langka yang tampaknya berada dalam ruang lingkup tanpa argumen, secara pribadi saya ingin melihat pertanyaan tetap terbuka.
Hsien-Chih Chang 張顯 之

Jawaban:


15

k

k k

Dua model utama:

The Selman Model random - Berulang klausul yang diperbolehkan . Kyle memberikan referensi yang bagus dalam komentar untuk jawabannya, tetapi salah berasumsi bahwa model tersebut tidak mengizinkan klausa berulang. Versi yang tertaut (sedikit berbeda) dari makalah ini berisi diskusi yang lebih rinci dari model acak di Bagian 3: "Metode generasi ini memungkinkan klausa duplikat dalam sebuah rumus ... Namun, karena N mendapat duplikat besar akan menjadi langka karena kita umumnya pilih hanya sejumlah klausa linier. "

m2k(nk)

Kesetaraan lokasi transisi fase :

Namun, transisi fase (ambang kepuasan 50%) terjadi pada rasio klausa-untuk-variabel yang sama terlepas dari mana model ini dipilih karena alasan yang mendasar bahwa Selman et al. dicatat di kertas mereka.

Misalkan menunjukkan jumlah pasangan klausa yang identik yang diharapkan dalam contoh Selman acak -SAT. Probabilitas pasangan klausa tertentu yang identik adalah , sedangkan jumlah total pasangan klausa adalah . Dengan linearitas harapan, .A(n,m,k)(n,m,k)p=1/(2k(nk))N=(m2)A(n,m,k)=pN=(m2)/2k(nk)

Dengan Teorema 3 dalam [1], batas atas yang dapat dibuktikan pada lokasi transisi fase -SAT, menggunakan model Achlioptas terjadi ketika . Memperbaiki dan pengaturan kita dapatkankm=O(2kn)k3m=O(2kn)

A(n,m,k)=(m2)/2k(nk)=O(m2)/O(nk)=O(n2)/O(nk) .

Kemudian, karena , , yang berarti bahwa dalam harapan akan ada nol klausa berulang di sekitar -SAT transisi fase ketika menghasilkan rumus SAT acak menggunakan model Selman.k3limnO(n2)/O(nk)=0k

Promosi diri yang tidak tahu malu - Saya membahas topik ini secara singkat di Bagian 4.1 dari tesis master saya .

QBF acak

Ternyata, situasinya jauh lebih menarik untuk QBF acak. Apa AFAIK tiga makalah pertama tentang QBF acak masing-masing mengusulkan model acak baru, mengkritik pendahulunya.

Lihat makalah berikut:

  • Cadoli et al. "Analisis Eksperimental Biaya Komputasi untuk Mengevaluasi Formula Boolean yang Dihitung." AI * IA 1997
  • Gent + Walsh "Melampaui NP: transisi fase QSAT." AAAI / IAAI 1999
  • Chen + Interian "Sebuah Model untuk Menghasilkan Rumus Boolean Kuantitatif yang Dihitung." IJCAI 2005

14

[Diedit untuk kejelasan]

Definisi yang paling banyak digunakan dalam literatur penelitian adalah definisi yang membutuhkan tepat variabel k berbeda per klausa, dan tidak ada klausa duplikat. Jika Anda mengendurkan batasan variabel yang berbeda, sebagian besar penelitian yang ada tidak akan masuk akal bagi Anda karena hasil Anda tidak akan cocok dengan hasil mereka. Transisi fase sat / unsat yang terkenal akan terjadi pada rasio klausul-variabel yang berbeda (jika transisi ada sama sekali) dan Anda tidak akan menemukan contoh-contoh SAT yang sulit di mana Anda harapkan dari literatur.


3
Menghasilkan Masalah Kepuasan yang Sulit oleh Mitchell, Selman dan Levesque. Bagian 4 menjelaskan apa yang mereka sebut "Random K-SAT." Koran itu tidak berbicara tentang pelonggaran pembatasan; yang berasal dari saya memodifikasi generator 3SAT acak dan memasukkan banyak contoh ke dalam SAT solver berbasis DPLL.
Kyle Jones

5
"Definisi yang paling benar adalah definisi yang menghasilkan transisi fase sat / unsat di sekitar 4,26 klausa per variabel untuk 3SAT acak." Kamu pasti bercanda.
Tsuyoshi Ito

1
@ Tsuyoshi: Sementara "paling benar" jelas merupakan peregangan, saya pikir argumennya adalah bahwa versi ini standar dan salah satu yang terbaik dipelajari.
Huck Bennett

2
Anda membuat klaim aneh bahwa 4.26 adalah angka ajaib yang membedakan definisi tertentu dari istilah "acak k-SAT" sebagai yang paling benar. Jika ini bukan lelucon, saya tidak tahu harus berkata apa.
Tsuyoshi Ito

4
Tidak, saya membuat klaim bahwa penemuan fase transisi dan semua penelitian dan makalah berikutnya yang mengikuti setuju pada definisi default k-SAT acak, yang merupakan definisi yang saya berikan. Jika Anda menggunakan definisi yang berbeda, banyak makalah tidak akan masuk akal bagi Anda karena hasil Anda tidak akan cocok dengan hasil mereka. Jika Anda bekerja pada pemecah SAT, Anda akan menemukan contoh mudah di mana setiap makalah terkait yang saya baca mengatakan Anda harus menemukan yang sulit. Tidak ada yang ajaib tentang hal itu, baru didirikan konvensi pada titik ini. Jika Anda ingin mengutip contoh tandingan, maka lakukan itu.
Kyle Jones
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.