Mengukur keacakan rumus CNF

Sudah banyak diketahui bahwa formula CNF dapat secara kasar dipartisi dalam 2 kelas besar: acak vs. terstruktur. Rumus CNF terstruktur, bertentangan dengan rumus CNF acak, menunjukkan semacam keteraturan, menunjukkan pola yang tidak mungkin terjadi secara kebetulan. Namun, orang dapat menemukan formula terstruktur yang menunjukkan tingkat keacakan (yaitu kelompok klausa tertentu tertentu tampaknya jauh lebih terstruktur daripada yang lain), serta rumus acak dengan beberapa bentuk struktur yang lemah (yaitu kelompok klausa tertentu tertentu tampaknya kurang acak daripada yang lain ). Oleh karena itu tampaknya keacakan rumus bukan hanya fakta ya / tidak.

Misalkan menjadi fungsi yang, mengingat rumus CNF F ∈ F , mengembalikan nilai riil antara 0 dan 1 inklusif: 0 berarti rumus terstruktur murni, sedangkan 1 berarti rumus acak murni.$r: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$$F \in \mathcal{F}$$0$$1$$0$$1$

Saya bertanya-tanya apakah seseorang pernah mencoba untuk menciptakan . Tentu saja nilai yang dikembalikan oleh r akan (setidaknya ini maksud saya) hanya pengukuran praktis sesuai dengan beberapa kriteria yang masuk akal, daripada kebenaran teoritis yang solid.$r$$r$

Saya juga tertarik untuk mengetahui apakah seseorang pernah mendefinisikan dan mempelajari indikator statistik apa pun yang dapat digunakan dalam definisi , atau dalam menentukan properti keseluruhan berguna lainnya dari suatu formula. Dengan indikator statistik saya maksudkan sesuatu seperti itu:$r$

1. HCV (Hit Hitung Variance)
   
   Mari menjadi fungsi yang, diberi variabel v j ∈ N , mengembalikan jumlah kali v j muncul di F . Biarkan V adalah himpunan variabel yang digunakan dalam F . Biarkan ˉ h F = $h_F: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$v_j \in \mathbb{N}$$v_j$$F$$V$$F$menjadi AHC (rata Hit Count). HCV yang didefinisikan sebagai berikut: HVC=$\bar{h}_F = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{h_F(v_j)}$
   
   Dalam kasus acak, HCV sangat rendah (semua variabel disebutkan hampir sama dengan jumlah kali), sedangkan dalam kasus terstruktur tidak (beberapa variabel) digunakan sangat sering dan beberapa yang lain tidak, yaitu ada "kelompok penggunaan").$HVC = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{(h_F(v_j) - \bar{h}_F)^2}$
   
   
   
   
2. 
   
   $h_F^{+}(v_j)$$v_j$$h_F^{-}(v_j)$$i: \mathbb{N} \rightarrow [0,1]$$v_j \in V$$i(v_j)$$i(v_j) = 2 \cdot \frac{min(h_F^{+}(v_j), h_F^{-}(v_j))}{h_F(v_j)}$
   
   $AID = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{i(v_j)}$
   
   $0.5$$1$$1$
   
   
3. 
   
   $0.5$
   
   $IDV = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{(i(v_j) - AID)^2}$
   
   $0$$0$

Motivasi

1. Untuk lebih memahami bagaimana rumus CNF bekerja, bagaimana keacakan / strukturnya dapat diukur, jika sifat keseluruhan lainnya yang berguna dapat disimpulkan dengan melihat indikator statistik mereka, jika dan bagaimana indikator tersebut dapat digunakan untuk mempercepat pencarian.
2. Bertanya-tanya apakah kepuasan (atau bahkan jumlah solusi) dari formula CNF dapat disimpulkan dengan hanya memanipulasi indikator statistiknya secara cerdik.

Pertanyaan

1. Apakah ada yang pernah mengusulkan cara untuk mengukur keacakan rumus CNF?
2. Adakah yang pernah mengusulkan indikator statistik apa pun yang dapat digunakan untuk mempelajari atau bahkan secara mekanis menyimpulkan sifat keseluruhan yang berguna dari formula CNF?

Saya menyarankan untuk meminjam intuisi fisika bahwa struktur "kurang acak" lebih simetris. Simetri untuk CNF adalah setiap transformasi variabel, yang membuat fungsi tidak berubah. Dengan kriteria itu, fungsi 3 variabel seperti

$\displaystyle x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3} .$

atau, katakanlah,

$\displaystyle(x_{1} \vee x_{2} \vee \neg x_{3}) \wedge (x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee \neg x_{2} \vee \neg x_{3}).$

kurang acak daripada, katakanlah

$\displaystyle(x_{1} \vee x_{2} \vee \neg x_{3}) \wedge (x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) .$

Secara umum, mendefinisikan konsep "acak" pada struktur hingga adalah menantang. Secara historis, itu dicoba pada urutan biner, yang bisa dibilang adalah struktur hingga paling sederhana. Misalnya, secara intuitif, urutan 01010101 "kurang acak" daripada, katakanlah, 01001110. Namun, dengan cepat disadari bahwa tidak ada definisi formal yang konsisten dari urutan acak terbatas ! Oleh karena itu, kita harus skeptis terhadap upaya naif untuk menentukan ukuran keacakan untuk setiap struktur yang terbatas.