Menghitung jumlah penutup simpul: kapan sulit?

14

Pertimbangkan masalah # P-complete untuk menghitung jumlah penutup simpul dari grafik yang diberikan . $G = (V, E)$

Saya ingin tahu apakah ada hasil yang menunjukkan bagaimana kekerasan masalah tersebut bervariasi dengan beberapa parameter (misalnya, ). $G$ $d = \frac{|E|}{|V|}$

Sensasi saya adalah bahwa masalahnya harus lebih mudah baik ketika jarang dan ketika padat, sementara itu harus sulit ketika "di tengah". Benarkah ini masalahnya? $G$ $G$ $G$

— Giorgio Camerani
sumber

Apakah Anda ingin menghitung semua penutup simpul, atau semua penutup simpul kardinalitas minimum? Perhatikan bahwa masalah pertama mungkin lebih mudah dalam beberapa kasus, karena itu tidak selalu membantu Anda memecahkan masalah NP-complete.

— Ryan Williams

Hai Ryan, ya saya ingin menghitung semua simpul penutup. Mengapa Anda mengatakan "itu tidak selalu membantu Anda memecahkan masalah NP-complete" ? Jika itu # P-complete, mengapa itu tidak membantu saya memecahkan masalah NP-complete?

— Giorgio Camerani

@Walter, Menghitung tugas variabel yang memenuhi formula 2SAT yang diberikan adalah # P-complete tetapi 2SAT ada di P.

— Mohammad Al-Turkistany

@turkistany: Ya saya sudah tahu itu ...

— Giorgio Camerani

@turkistany: ... tapi kemudian? Apapun masalah NP-complete yang saya miliki, saya dapat mengonversinya menjadi SAT, lalu SAT ke #SAT, kemudian #SAT ke # Monotone-2SAT (yang persis sama dengan menghitung penutup simpul). Jadi mengapa saya tidak bisa menyelesaikan masalah NP-complete, mengingat kemampuan untuk menghitung vertex cover?

— Giorgio Camerani

15

Masalah #VC menghitung jumlah simpul penutup dari grafik yang diberikan tetap # P-hard untuk grafik 3-reguler; lihat misalnya [Greenhill, 2000].

Untuk menunjukkan bahwa masalah #VC tetap # P-hard untuk grafik dengan paling banyak edge, di mana adalah jumlah simpul dan , kurangi dari kasus 3-reguler dengan menambahkan besar set cukup independen (ukuran linier). Jumlah penutup simpul tetap sama jika Anda menambahkan satu set independen. $c\cdot n$ $n$ $0<c<3/2$

Demikian pula, untuk menunjukkan bahwa masalah #VC tetap # P-keras untuk grafik dengan setidaknya tepi, di mana adalah jumlah simpul dan , kurangi dari #VC dengan menambahkan a komponen klik yang cukup besar (ukuran linier). Jumlah penutup simpul dikalikan dengan jika Anda menambahkan klik ukuran ke grafik. $c\cdot n^2$ $n$ $0<c<1/2$ $p+1$ $p$

Catherine S. Greenhill: Kompleksitas penghitungan warna dan set independen dalam grafik tipis dan hypergraphs . Kompleksitas Komputasi 9 (1): 52-72 (2000)

— Serge Gaspers
sumber

Jadi kesimpulannya adalah #VC untuk grafik kubik adalah # P-complete karena #IS adalah # P-complete?

— delete000

9

Mengikuti jawaban Yaroslav, Luby dan Vigoda adalah orang pertama yang menunjukkan FPRAS untuk #IS dalam kondisi kepadatan (tingkat maksimum 4, yang saya kira lebih lemah dari hasil Weitz), sementara Dyer, Frieze dan Jerrum menunjukkan bahwa tidak ada FPRAS untuk #IS jika derajat maksimum grafik adalah 25 kecuali RP = NP.

Referensi:

Martin Dyer, Alan Frieze, dan Mark Jerrum. Pada menghitung set independen dalam grafik jarang. FOCS 1999.

Michael Luby dan Eric Vigoda. Kira-kira menghitung hingga empat. STOC 1997.

Lihat juga catatan kuliah ETH Jerrum, "Menghitung, mengambil sampel, dan mengintegrasikan: algoritma dan kompleksitas".

— RJK
sumber

4

BTW, Alan Sly membuktikan waktu polinomial tidak dapat diperkirakan untuk derajat maksimum = 6 - arxiv.org/abs/1005.5584

— Yaroslav Bulatov

1

@Yaroslav: Terima kasih untuk referensi. Sepertinya membaca bagus!

— RJK

9

Sehubungan dengan kompleksitas waktu eksponensial, instance umum dan instance dengan derajat maksimum konstan sama-sama keras: Lemma sparsifikasi Impagliazzo, Paturi, Zane (2002) menunjukkan bahwa -beberapa contoh -Sat dapat direduksi menjadi contoh -Sat dengan paling banyak klausa dalam waktu . Seperti yang diamati dalam kerja bersama dengan Husfeldt dan Wahlén, lemma sparsifikasi bekerja untuk versi penghitungan -Sat juga, dan terutama untuk kasus penghitungan $n$ $d$ $d$ $f(d,\epsilon)\cdot n$ $\exp(\epsilon n)$ $d$ $2$ -Sat (yang setara dengan menghitung set independen dan menghitung simpul penutup).

Selain itu, menghitung set independen dalam grafik -vertex tidak dapat dilakukan dalam waktu kecuali hipotesis waktu eksponensial gagal. Ini adalah pengamatan yang belum dipublikasikan yang diumumkan dalam ceramah selama Penghitungan Komputasi Seminar Dagstuhl . $n$ $\exp(o(n))$

— Holger
sumber

mengenai komentar akhir Anda: ETH berarti SAT tidak dapat diselesaikan dalam waktu subeksponensial, yang dengan reduksi standar menyiratkan bahwa SET INDEPENDEN tidak dapat diputuskan dalam waktu subeksponensial juga. Maka segera bahwa ETH menyiratkan penghitungan set independen juga tidak dapat dilakukan dalam waktu subeksponensial.

— András Salamon

1

Memutuskan dan menghitung jumlah set independen maksimum sulit di bawah ETH melalui beberapa pengurangan standar yang diketahui dari 3SAT. Namun, pertanyaan ini adalah tentang menghitung semua set independen (yaitu, belum tentu maksimum) dalam grafik. Versi keputusannya sepele: set kosong selalu set independen. Bandingkan juga Hoffmann (2010) , yang membuktikan bahwa penghitungan set independen tidak dapat dilakukan dalam

waktu

kecuali ETH gagal.

\exp (o (n / \log^{3} n))

$\exp(o(n/\log^3 n))$

— Holger

8

Set adalah vertex cover jika komplemennya adalah set independen, oleh karena itu masalah ini setara dengan menghitung set independen.

Penghitungan aljabar set independen adalah FPT untuk grafik lebar klik terikat terbatas. Misalnya, lihat Courcelle's "Sebuah polinom interlace multivariat dan komputasinya untuk grafik lebar klik terikat", di mana mereka menghitung generalisasi polinomial kemerdekaan. Menambahkan koefisien polinomial kemerdekaan memberikan jumlah set independen.

Grafik dengan derajat 3 maksimum dapat memiliki lebar klik tidak terikat.

$d$ $\lambda$

λ < \frac{(Δ - 1)^{Δ - 1}}{(Δ - 2)^{Δ}}

$\lambda<\frac{(\Delta-1)^{\Delta-1}}{(\Delta-2)^\Delta}$

_{(sumber: yaroslavvb.com )}

$\lambda=1$

$d$ $\lambda$ $d$

— Yaroslav Bulatov
sumber

Masalah dengan bekerja dengan IS bukan VC adalah bahwa grafik komplemen dapat kehilangan beberapa properti bagus yang diinginkan: misalnya, "derajat terikat paling banyak k" menjadi "dengan derajat setidaknya nk", yang sekarang tergantung pada ukuran contoh. Ini mungkin atau mungkin tidak relevan.

— András Salamon

@ András Ini adalah himpunan simpul yang rumit, bukan himpunan tepi.

— Tyson Williams