Kekerasan masalah FPT

13

Vertex Cover dapat dengan mudah direduksi menjadi Independent Set dan sebaliknya.

Namun, dalam konteks kompleksitas parameter, set Independen lebih sulit daripada Penutup Vertex. Sebuah kernel dengan simpul ada untuk Vertex Cover, tapi Independen Set W 1 keras. $2k$

Bagaimana sifat Independent Set berubah dalam konteks FPT dan mengapa?

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Nikhil
sumber

9

Gagasan utama jawabannya: jika kita mengurangi instance Independent Set yang diparameterisasi menjadi Vertex Cover yang diparameterisasi, maka parameter yang kita dapatkan tergantung pada ukuran grafik, dan tidak hanya bergantung pada parameter input. Sekarang untuk lebih detail.

Seperti yang Anda ketahui, masalah parameterized berada dalam (seragam) FPT jika ada algoritma yang memutuskan apakah input terkandung dalam dalam waktu untuk beberapa fungsi . $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

Karena Anda dapat memutuskan apakah grafik memiliki penutup sudut ukuran dengan memilih tepi, dan bercabang di mana dari dua titik akhir untuk dimasukkan ke dalam penutup simpul, percabangan ini hanya berjalan dalam (jika Anda sudah meletakkan lebih dari simpul dalam penutup), dan mudah berjalan dalam waktu ; karena itu -Vertex Cover ada di FPT. $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

Sekarang misalkan kita ingin mencoba menggunakan algoritme ini untuk menunjukkan bahwa Independent Set yang diparameterisasi ada di FPT; anggap kita diberi grafik pada simpul dan ingin memutuskan apakah ia memiliki seperangkat ukuran independen . Ini sama dengan menanyakan apakah memiliki penutup simpul ukuran . Jadi kita menggunakan algoritma di atas kami untuk menghitung jawaban di waktu. Untuk algoritma FPT kami, fungsi eksponensial dalam waktu berjalan mungkin tergantung pada parameter, yaitu , tetapi mungkin TIDAK tergantung pada ukuran input, yang merupakan $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ ; tetapi pendekatan yang kami sketsa menggunakan eksponensial waktu dalam dan karenanya bukan merupakan parameter FPT berkenaan dengan parameter . Inilah sebabnya mengapa Vertex Cover berada di FPT tidak menyiratkan bahwa Independent Set berada di FPT. $n - \ell$ $\ell$

— Bart Jansen
sumber

Terima kasih atas semua balasannya. Dalam konteks kompleksitas parameter, saya memahami ide ketika saya mencoba mempelajari kekerasan set Independen, beralasan dari Vertex Cover. Namun, saya tidak menemukan penjelasan apa pun yang melihat Independent Set, terlepas dari konteks penutup Vertex? Apakah ada sesuatu dalam struktur (atau sifat yang melekat) untuk menemukan Perangkat Independen yang membuatnya lebih sulit?

— Nikhil

Bart, mengapa tidak ada parameter

yang reduksi berfungsi seperti yang diinginkan?

k

$k$

— Raphael

@ Raphael: Bisakah Anda mengklarifikasi pertanyaan Anda? Satu- satunya parameter "diizinkan" oleh pertanyaan OP adalah ukuran solusi masing-masing. Jika kita mengizinkan parameter arbitrer, maka ada banyak yang reduksi berfungsi seperti yang diinginkan (Jika saya memahami frasa ini dengan benar): Misalnya, jika kita menyimpan parameter sebagai "ukuran penutup simpul ukuran minimum" untuk kedua masalah, maka keduanya adalah FPT; MinVC oleh argumen Bart, dan MaxIndSet dengan argumen yang sama dan menggunakan reduksi OP. Hanya ketika kita bersikeras bahwa Penyempitan MaxIndSet bersikap nya ukuran solusi yang masalahnya menjadi W [1] -Hard.

— gphilip

Anda memahami pertanyaan saya dengan sempurna! Dalam hal itu, pertanyaan OP itu keliru: hanya masuk akal untuk berbicara tentang kompleksitas parametris untuk pasangan masalah (parameter). Secara mental saya mengisi celah dengan "forall", artinya saya membaca jawaban Bart dalam arti "untuk semua

" juga, dan berpikir itu salah / tidak lengkap. Karena itu pertanyaanku. Omong-omong, jawaban lain memiliki masalah yang sama. Rupanya semua orang kecuali saya mengisi kekosongan dengan pilihan kanonik.

k

$k$

— Raphael

6

Saya tidak akan mengatakan bahwa 'sifat' dari masalah itu berubah, apa pun maksudnya. Semua yang berubah adalah parameter, yaitu cara Anda mengukur tingkat kesulitan masalah.

Grafik yang memiliki ukuran penutup simpul paling banyak adalah sangat terstruktur sehingga memungkinkan untuk secara efisien menguranginya dalam ukuran: Kita dengan rakus dapat menemukan pencocokan ukuran maksimal paling banyak dan sisa grafik adalah seperangkat ukuran independen setidaknya . Menggunakan aturan reduksi seperti reduksi mahkota, jumlah simpul dapat dikurangi hingga paling banyak . $k$ $k$ $n-2k$ $2k$

Di sisi lain, grafik yang memiliki ukuran simpul puncak paling banyak (atau ekuivalen, independen maksimum memiliki ukuran setidaknya ) tampaknya tidak memiliki struktur yang sederhana. Ini bisa dibuat tepat, seperti yang Anda tunjukkan: strukturnya memungkinkan kita untuk menyandikan masalah . $n-k$ $k$ $W[1]$

— Holger
sumber

4

Berikut ini mungkin memberikan intuisi untuk perbedaannya. Subset dari simpul S adalah penutup simpul G = (V, E) jika dan hanya jika VS adalah set independen, jadi jika MVC adalah ukuran penutup simpul minimum maka MIS = | V | -MVC adalah ukuran set independen maksimum. Algoritma FPT yang diparameterisasi oleh X memungkinkan runtime eksponensial sebagai fungsi X. Grafik acak pada n simpul dengan probabilitas tepi setengahnya memiliki MIS probabilitas tinggi tentang ukuran 2logn dan MVC ukuran tentang n-2logn. Jadi, setidaknya untuk grafik ini, algoritma FPT yang diparameterisasi oleh MVC hanya memungkinkan lebih banyak waktu daripada satu yang diparameterisasi oleh MIS.

4

Meskipun saya setuju dengan apa yang dikatakan orang lain, cara lain yang saya temukan bermanfaat ketika memikirkan hal-hal ini adalah menyusun kembali masalah sebagai masalah pengenalan, yaitu "Apakah grafik input termasuk dalam keluarga grafik yang paling banyak memiliki penutup simpul paling banyak k?" / "Apakah grafik input termasuk dalam kelompok grafik yang memiliki set independen paling tidak k?".

Secara intuitif, kelompok grafik yang lebih terbatas harus lebih mudah dikenali daripada grafik yang lebih kaya dan lebih umum. Kelompok grafik penutup vertex paling banyak k sangat terbatas, pada kenyataannya setiap grafik tersebut dapat digambarkan hanya dengan menggunakan bit , yang jauh lebih sedikit dari biasanya bit yang dibutuhkan , dengan asumsi bahwa k secara signifikan lebih kecil dari n. Kelompok grafik set independen setidaknya k di sisi lain sangat kaya: grafik apa pun dapat diedit menjadi miliknya dengan menghapus paling banyak edge. $O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

Jadi bagi saya ini adalah salah satu penjelasan intuitif mengapa saya berharap akan lebih mudah untuk mengenali tutup vertex kecil daripada set independen kecil. Tentu saja harus jelas bahwa pemikiran di atas tidak mendekati argumen formal dan saya kira pada akhirnya bukti yang paling meyakinkan bahwa memang lebih sulit untuk mengenali seperangkat ukuran independen k sama persis dengan kekerasan independen set!

— Michael Lampis
sumber

Bagaimana cara menghilangkan tepi

cukup untuk memberikan grafik seperangkat simpul

independen ? Saya pikir Anda akan perlu

k^{2}

$k^2$

k

$k$

menghilangkan tepi jika Anda ingin mendapatkan seperangkat ukuran

independendalam grafik lengkap pada

simpul.

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

— Bart Jansen

@Bart: Untuk seperangkat simpul

independen , Anda hanya perlu memastikan bahwa tidak ada tepi di antara simpul ini , dan paling banyak terdapat

sisi dalam subgraf pesanan (sederhana)

.

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

— Mathieu Chapelle

3

Ini adalah jawaban yang sangat tidak langsung, dan mungkin tidak cukup menjawab kekhawatiran Anda. Tetapi FPT dan hirarki W terkait erat dengan aproksibilitas (masalah FPT sering memiliki PTASs dll). Dalam konteks itu, perhatikan bahwa untuk grafik apa pun, VC = n - MIS, dan perkiraan untuk VC tidak memberikan perkiraan untuk MIS. Inilah sebabnya mengapa Anda perlu pengurangan L untuk perkiraan. Saya menduga ada gagasan "pengurangan pelestarian kernel" yang setara untuk kompleksitas parameterisasi juga.

— Suresh Venkat
sumber

Apakah ada gagasan "pengurangan pelestarian kernel" dalam FPT?

— Nikhil

Saya tidak tahu: maka kutipannya :). Saya sedang menunggu para pakar kompleksitas parametrized untuk berpadu.

— Suresh Venkat

2

Anda baru saja memanggilnya! ;)

— Raphael

4

Ada gagasan seperti itu: transformasi polinomial waktu-dan-parameter. Masalah parameterisasi P polinomial-waktu-dan-parameter berubah menjadi Q (baca:

P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$ ) jika ada algoritma waktu polinomial yang diberi instance

(x, k)

$(x,k)$ masalah

P

$P$ , output dalam waktu polinomial instance yang setara

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$ dari

Q

$Q$ seperti yang

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$ . The use for kernelization is as follows: if

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$ ,

Q

$Q$ has a polynomial kernel and the classical versions of

P

$P$ and

Q

$Q$ are NP-complete, then

P

$P$ has a poly kernel as well. ( dx.doi.org/10.1007/978-3-642-04128-0_57 )

— Bart Jansen

Another paper stating some relations between approximability and FPT is [dx.doi.org/10.1016/S0020-0190(97)00164-6] where they show that if a problem is W[1]-hard than it cannot admit an efficient PTAS where the objective function is also the parameter. An efficient PTAS has time complexity

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$ , while a time complexity

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$ is not allowed. The same result is also in Bazgan's thesis.

— Gianluca Della Vedova