Algoritma Holografik - Kesetaraan Basa

Saya sedang membaca makalah seminal Les Valiant dan saya mengalami kesulitan dengan Proposisi 4.3 di halaman 10 makalah ini.

Aku tidak bisa melihat mengapa kasus bahwa jika ada generator dengan nilai-nilai tertentu untuk dengan dasar , maka ada beberapa generator dengan yang sama nilai untuk basis apa pun $valG$ $\{(a_1,b_1) \ldots (a_r,b_r)\}$ $valG$ ( ) atau ( ) untuk setiap . $\{(xa_1,yb_1) \ldots (xa_r,yb_r)\}$ $1^{st} kind$ $\{(xb_1,ya_1) \ldots (xb_r,ya_r) \}$ $2^{nd} kind$ $x,y \in F$

Valiant poin alasan di paragraf sebelumnya - yaitu jenis transformasi dapat dicapai dengan menambahkan setiap input atau output simpul tepi berat . The jenis transformasi, Valiant mengatakan, dapat dicapai dengan menambahkan input atau output node rantai panjang ditimbang dengan dan masing-masing. $1^{st}$ $1$ $2^{nd}$ $2$ $x$ $y$

Saya belum benar-benar memahami pernyataan ini. Mungkin mereka sudah jelas, tetapi saya masih tidak dapat benar-benar melihat mengapa konstruk di atas membantu mencapai nilai dapat direalisasikan dengan satu basis dengan basis baru yang merupakan salah satu tipe di atas. $valG$

Tolong bantu menerangi mereka untuk saya. Pada catatan yang berbeda, apakah ada beberapa survei bebas tensor untuk algoritma hologaphic yang tersedia online. Sebagian besar dari mereka menggunakan tensor yang, sayangnya, membuatku takut :-(

-Akash terbaik

ds.algorithms counting-complexity survey

— Akash Kumar
sumber

Tensor (dalam pengertian ini) hanyalah array angka, jadi saya tidak berpikir Anda akan menemukan tensor survey gratis kecuali mereka benar-benar bebas dari perhitungan.

Operasi " " memformalkan operasi perubahan basis dan melampirkan gadget ke setiap simpul keluaran (sebenarnya saya suka menganggap perubahan basis sebagai semacam operasi gadget). Biarkan menjadi kotak korek api generator dengan tanda tangan standar . Ini array angka . Tanda tangan dalam basis baru diberikan oleh $T^{\otimes k}$ $\Gamma$ $M_{i_1i_2\cdots i_k}=u(\Gamma)$ $2^k$

$(T^{\otimes k}M)_{i_1i_2\cdots i_k}:=\sum_{i_1',\cdots,i_k'} T_{i_1i_1'} \cdots T_{i_ki_k'} M_{i_1'i_2'\cdots i_k'}$

di mana adalah matriks dua-dua yang menurunkan basis baru. $T$

Biarkan menjadi korek api yang dibentuk dengan menambahkan simpul baru ke , menjadikannya sebagai keluaran baru, dan menghubungkannya ke keluaran lama dengan bobot . Maka tanda tangan baru adalah mana adalah matriks . Jika Anda kemudian melakukan perubahan basis Anda mendapatkan tanda tangan . $\Gamma'$ $k$ $\Gamma$ $x$ $C^{\otimes k}M$ $C_{ij}$ $\begin{pmatrix}0&x\\1&0\end{pmatrix}$ $TC^{-1}$ $T^{\otimes k}M$

— Colin McQuillan
sumber

S

$S$

u (Γ)

$u(\Gamma)$

S = S_{0}

$S = S_0$

T^{\otimes k} \times S = u (Γ)

$T^{\otimes k} \times S = u(\Gamma)$

v a l G (Γ, x)

$valG(\Gamma, x)$ contoh bahwa ia hanya bermaksud untuk mengekspresikan vektor perfMatch sebagai jumlah koefisien wrt ke basis baru. Saya tidak yakin, karena latar belakang saya yang kurang jelas dengan tensor.

— Akash Kumar

C^{\otimes k} M

$C^{\otimes k}M$

S_{0}

$S_0$

(T^{- 1})^{\otimes k} S

$(T^{-1})^{\otimes k} S$

T

$T$

n_{0}, n_{1}, p_{0}, p_{1}

$n_0,n_1,p_0,p_1$

(0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)

$(0,1,1,0,1,0,0,1)$

x (1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 0)

$x(1,1,1,1\ 1,1,1,0)$

C^{\otimes 3} w h e r e

$C^{\otimes 3} where$

C = (0, 1)^{t} (x = 1, 0)^{t}

$C = (0,\ 1)^t (x=1,\ 0)^t$

u (Γ)

$u(\Gamma)$

P_{3}

$P_3$

P_{3} ∖ Z

$P_3 \setminus Z$

u (P_{3}) = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)

$u(P_3)=(0,1,0,0,1,0,0,1)$

(1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)

$(1,0,0,1,0,0,1,0)$

(C^{\otimes 3} u (P_{3}))_{1, 2, 2} = 1

$(C^{\otimes 3} u(P_3))_{1,2,2}=1$