Apakah ada CFG ukuran polinomial yang menjelaskan bahasa terbatas ini?


9

Apakah ada permutasi dan ukuran polinomial (dalam ) konteks tata bahasa gratis yang menggambarkan bahasa hingga lebih dari alfabet ?π1,π2|w|=n{wπ1(w)π2(w)}{0,1}

PEMBARUAN: Untuk satu permutasi π dimungkinkan. π adalah pembalikan atau modifikasi pembalikan yang relatif kecil.


5
Juga ditanya tentang math.stackexchange. Maksudnya adalah: Apakah ada urutan permutasi sehingga bahasa memiliki CFG ukuran polinomial? L n = { w π 1 ( w ) π 2 ( w ) : w { 0 , 1 } n }π1n,π2nSnLn={wπ1(w)π2(w):w{0,1}n}
Yuval Filmus


1
Apakah kita tahu jika ada CFG untuk L=nLn ?
Kaveh

4
@ Kaveh: Jawabannya adalah tidak, untuk urutan perm apa pun. Jika bahasa Anda L bebas konteks, maka ia memiliki panjang pemompaan p . Terapkan lemma pemompaan untuk CFG ke string dalam L yang terkait dengan w=0p1p . Lemma pemompaan untuk CFG juga dapat kita katakan bahwa, jika OQ memiliki jawaban positif, maka CFG untuk Ln harus menggunakan setidaknya variabel Ω(n/logn) , karena kita perlu 3n lebih kecil dari panjang pemompaan , sehingga CFG kami untuk Ln tidak menerima string dengan panjang >3n . Saya belum melihat bagaimana menggunakan ini untuk mengesampingkan jawaban positif untuk OQ, tetapi itu mungkin saja terjadi.
Joshua Grochow

1
@Kaveh: (Juga, jika urutan perm dapat dipilih secara sewenang-wenang, maka bahasa Anda bahkan tidak perlu dapat dihitung ... OQ tampaknya secara inheren tidak seragam.)L
Joshua Grochow

Jawaban:


13

Bentuk normal Chomsky

CFG dalam CNF (bentuk normal Chomsky) jika satu-satunya produksi adalah bentuk dan ; tata bahasa dapat dibawa ke CNF dengan hanya blowup kuadratik.A B CAaABC

Untuk tata bahasa di CNF, kita memiliki bagus Subword Lemma: Jika menghasilkan kata , maka untuk setiap , ada subword dari panjang yang dihasilkan oleh beberapa non-terminal . Bukti: Turunkan pohon sintaks (biner), selalu ke anak yang menghasilkan subword yang lebih panjang. Jika Anda mulai dengan subword dengan ukuran setidaknya , Anda tidak mungkin masuk di bawah .G w w x w / 2 | x | < G/ 2GGwwxw/2|x|<G/2

Larutan

Tanpa kehilangan umum, kita dapat mengasumsikan bahwa tata bahasa untuk (bahasa seperti itu dengan ) adalah dalam Bentuk Normal Chomsky. Bahasa terdiri dari kata untuk semua .π 1 , π 2S n L n w ( x ) = x π 1 ( x ) π 2 ( x ) x { 0 , 1 } nLnπ1,π2SnLnw(x)=xπ1(x)π2(x)x{0,1}n

Menggunakan Subword Lemma, untuk setiap kita dapat menemukan substring panjangnya dihasilkan oleh beberapa simbol dan terjadi pada posisi .s ( x ) nw(x)s(x)A(x)p(x)

n2|s(x)|<n
A(x)p(x)

Misalkan dan . Karena , subword tidak dapat memotong bagian dan bagian dari ; kita dapat menganggapnya terpisah dari bagian . Jadi adalah dari bentuk . Ini menyiratkan bahwa menghasilkan tepat satu string, yaitu . Karena itu .A ( x ) = A ( y ) | s ( x ) | < n s ( x ) x π 2 ( x ) w ( x ) x w ( x ) x α s ( x ) β A ( x ) s ( x ) sp(x)=p(y)A(x)=A(y)|s(x)|<ns(x)xπ2(x)w(x)xw(x)xαs(x)βA(x)s(x)s(x)=s(y)

Sekarang memotong atau setidaknya di tempat, dan dengan demikian menentukan setidaknya bit . Oleh karena itu paling banyak string dapat memiliki dan . Karena ada paling banyak kemungkinan untuk , kita dapatkan bahwa setidaknya ada non-terminal berbeda dalam tata bahasa.π 1 ( y ) π 2 ( y ) n / 4 n / 4 y 2 3 n / 4 y { 0 , 1 } n p ( x ) = p ( y ) A ( x ) = A ( y ) 3 n p ( y ) 2 n /s(y)π1(y)π2(y)n/4n/4y23n/4y{0,1}np(x)=p(y)A(x)=A(y)3np(y)

2n/43n

Komentar: Bukti yang sama berfungsi jika , yaitu permutasi acak pada set semua kata-kata bit. Diberikan bit dari , ada persis preimages . n n / 4 π i ( y ) 2 3 n / 4 yπ1,π2S{0,1}nnn/4πi(y)23n/4y

Lebih banyak contoh

Dengan menggunakan metode yang sama, seseorang dapat membuktikan bahwa bahasa tempat setiap karakter muncul tepat dua kali membutuhkan CFG ukuran eksponensial dalam ukuran alfabet. Kita dapat mengganti "dua kali" dengan subset dari selain dari empat yang sepele (mengabaikan , baik yang tidak mengandung atau semuanya). 0 N 1N0N1

Saya akan sangat menghargai referensi untuk metode bukti ini.


2
Yuval, bisa tolong salin solusinya di sini juga.
Kaveh

Yuval terima kasih. Jika metode Anda benar dan novel, saya dengan senang hati akan membaca artikel yang menyelidiki kasus yang lebih umum dengan hasil positif atau negatif pada polisi CFG untuk bahasa terbatas atau tak terbatas.
jerr18


Saya kira dengan pengecualian maksud Anda "setidaknya satu kemunculan terminal". Apakah ini berarti Anda dapat menghasilkan semua permutasi dengan berpotongan dengan ? Σ | Σ |N1Σ|Σ|
jerr18

1
Lihat pertanyaan terkait cstheory.stackexchange.com/q/5014 di mana Yuval memposting jawaban dengan referensi yang dipublikasikan.
András Salamon
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.