Kompleksitas perkolasi

Dalam konteks perkolasi ikatan pada mana adalah bilangan bulat positif, pertimbangkan masalah perhitungan a -pendekatan dari perkolasi kritis diberi dimensi kisi dan parameter presisi sebagai input. Adakah hasil yang diketahui tentang kerumitan masalah seperti itu? d 2 - k p c d∈ N k∈$\mathbb{Z}^d$$d$$2^{-k}$$p_c$$d\in\mathbb{N}$$k\in\mathbb{N}$

Masalahnya pasti dalam waktu eksponensial ganda acak, dan kemungkinan dalam ruang eksponensial. Hasil pertama ada di posting asli saya di bawah ini, dan yang kedua di pembaruan saya.

POST ASLI: Tidak bisakah Anda mendapatkan perkiraan yang baik dengan simulasi, jika Anda bersedia menghabiskan waktu secara eksponensial dalam dan d ? Panjang input adalah logaritmik dalam k dan d . Jadi jelas masalahnya adalah waktu eksponensial ganda acak. Karena tidak ada yang tahu bagaimana menghitung nilai-nilai ini secara efisien dalam praktiknya, tampaknya jelas ini tidak diketahui dalam waktu eksponensial acak. Saya akan sangat terkejut jika ada hasil kompleksitas lain yang diketahui tentang masalah ini.$k$$d$$k$$d$

TAMBAHKAN TAMBAHAN: Sebenarnya, saya pikir masalahnya sangat mungkin di EXPSPACE. Mari kita perbaiki dimensi (untuk membuat segalanya lebih mudah, dan karena saya tidak mengerti seluk-beluk perkolasi dalam berbagai dimensi dengan baik sekali) jadi inputnya hanya . Juga, katakanlah k diberikan dalam unary sehingga saya dapat melepaskan eksponensial dan berbicara tentang PSPACE. Saya mengusulkan algoritma berikut.$k$$k$

Pertama, kita harus membuat asumsi bahwa ada kelas fungsi pseudorandom yang memberi tahu Anda apakah ikatan pada koordinat x ada, di mana α adalah benih untuk fungsi pseudorandom, dan yang ikatannya diberikan oleh F berperilaku seperti ikatan acak sehubungan dengan perkolasi.$F_\alpha({\mathbf{x}})$$\mathbf{x}$$\alpha$$F$

Sekarang, anggaplah kita memiliki nilai tetap dari seed fungsi pseudorandom . Pertimbangkan hal berikut dua pemain game, yang dua pemain A dan B bermain, setelah diberi probabilitas obligasi p dan benih α untuk F .$\alpha$$p$$\alpha$$F$

Pemain 1 memberikan dua situs dan b dalam jarak 2 k ν dari asalnya, tetapi yang masih θ ( 2 k ν ) terpisah, di mana ν dipilih sehingga jika probabilitas perkolasi p berada dalam 2 - k dari perkolasi kritis probabilitas p c , maka dengan probabilitas tinggi akan ada sekelompok diameter 2 k ν di dekat titik asal ( ${\bf a}$${\bf b}$$2^{k\nu}$$\theta(2^{k \nu})$$\nu$$p$$2^{-k}$$p_c$$2^{k\nu}$$\nu$disebut eksponen kritis, dan saya percaya nilainya dikenal dengan bukti matematis). Pemain 1 mengklaim bahwa ada jalur panjang menghubungkan situs-situs ini dengan ikatan dalam F α , dan juga memberikan situs yang merupakan titik tengah dari jalur panjang ini d . Pemain 2 kemudian mengklaim bahwa bagian pertama atau bagian kedua dari jalur ini tidak terhubung. Pemain 1 merespon dengan memberikan poin yang dia klaim adalah titik tengah dari bagian jalur yang diduga terputus ini. Kedua pemain terus dengan cara ini untuk log d langkah-langkah, sampai mereka mencapai segmen jalan yang terdiri dari ikatan tunggal, yang ada tidaknya mudah diverifikasi.$d$$F_\alpha$$d$$\log d$

Ini adalah permainan dua pemain yang hasilnya memberitahu apakah probabilitas perkolasi kritis adalah dalam dari p c , dan dengan hasil yang bolak waktu polinomial dalam PSPACE, hasil pertandingan ini dapat dihitung dalam PSPACE. Mesin PSPACE kemudian dapat menghitung hasil ini untuk semua seed α untuk menemukan pemain mana yang menang dengan probabilitas tinggi: ini akan memberitahunya apakah p lebih besar atau lebih kecil atau kira-kira sama dengan p c - 2 - k . Kemudian dapat melakukan pencarian biner pada p untuk menemukan p c . $2^{-k}$$p_c$$\alpha$$p$$p_c-2^{-k}$$p$$p_c$

TANTANGAN: Temukan algoritma PSPACE (atau EXPSPACE jika tidak diberikan secara unary) tanpa menggunakan asumsi bahwa ada fungsi pseudorandom yang baik untuk perkolasi.$k$