Pembenaran log f dalam teorema hierarki DTIME

Jika kita melihat teorema hierarki DTIME, kita punya log karena overhead dalam simulasi Mesin Turing deterministik oleh mesin universal:

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

Kami belum memiliki overhead semacam ini untuk NTIME dari DSPACE. Pembenaran dasar berasal dari rincian bukti dengan mempertimbangkan perbedaan antara simulator.

Pertanyaan saya adalah sebagai berikut: tanpa mempertimbangkan perincian bukti teorema hierarki DTIME, apakah ada pembenaran dari log ini atau itu bisa menjadi konsekuensi dari buktinya dan masuk akal untuk membayangkan bahwa jika kemudian $f = o(g)$

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

Menurut pendapat saya, mengingat bahwa penjelasan simulasi adalah pembenaran yang baik harus dibenarkan dengan membuktikan bahwa jika kita memiliki hasil yang lebih baik, maka kita dapat membuat simulasi yang lebih baik.

cc.complexity-theory universal-computation time-hierarchy

— Ludovic Patey
sumber

Saya pikir apa yang Anda tulis di paragraf terakhir lebih kecil kemungkinannya daripada kebalikannya. Yaitu, saya tidak berpikir bahwa saat ini kita dapat mengesampingkan kemungkinan bahwa pernyataan yang lebih kuat dapat dibuktikan dengan metode selain simulasi. Di sisi lain, kita mungkin bisa mengesampingkan kemungkinan bahwa pernyataan yang lebih kuat dapat dibuktikan dengan simulasi dengan membangun dunia yang relativisasi di mana pernyataan yang lebih kuat gagal.

— Tsuyoshi Ito

Sejauh yang saya mengerti, mengurangi overhead simulasi

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$ dalam teorema hirarki waktu deterministik akan menjadi hasil terobosan. Untuk satu hal, beberapa hasil dapat segera diperkuat.

— András Salamon

Ini agak bertele-tele, tetapi kecuali jika Anda memiliki pembatasan tambahan lebih lanjut pada f dan g (yang standar akan menjadi f dan g yang dapat dibangun waktu), ada f dan g sedemikian rupa sehingga f = o (g), dan DTIME (f) = DTIME (g). Untuk melihat ini, pertimbangkan saja himpunan tak terhitung dari semua fungsi x ^ i, dengan i real, 0 <i <= 1. Jika Teorema Time Hierarchy benar untuk semua pasangan fungsi seperti itu, maka kita akan mendapatkan seperangkat tak terhitung dari fungsi bahasa, semua dapat ditentukan oleh mesin Turing. Ini bertentangan dengan fakta bahwa himpunan mesin Turing dapat dihitung.

— Abel Molina

@abel Saya berasumsi tentu saja bahwa f dan g adalah konstruktif waktu, seperti dalam teorema hierarki waktu saat ini.

— Ludovic Patey

ya ada pembenaran melihat bukti saat ini, tetapi jawaban lengkap untuk masalah / pertanyaan ini akan membuktikan itu perlu dan tidak hanya cukup. yaitu seperti komentar AS di atas, ikatan yang lebih ketat adalah masalah terbuka. dalam hopcroft / ullman 1976 mereka menunjukkan faktor log (n) adalah karena mengurangi multitape TM menjadi 2-tape TM dan juga memiliki bukti yang relevan untuk pengurangan itu. (bersama dengan pertanyaan ini, bagaimanapun, selalu bertanya-tanya bagaimana hierarki thms akan terlihat berbeda untuk teori kompleksitas berdasarkan pada single tape TMs daripada yang memungkinkan multitape TMs. tampaknya terkait dengan pertanyaan ini)

— vzn

Jawaban:

Teorema hierarki waktu adalah subjek dari proyek diploma saya, mungkin Anda ingin melihat komentar pada pertanyaan saya Batas bawah dan pemisahan kelas .

Melihat kembali ke pertanyaan ini dan bagaimana hubungannya dengan apa yang Anda tanyakan, saya mendapat ide yang mungkin menunjukkan bahwa multitape untuk single tape TM simulasi yang diperlukan oleh bukti teorema tidak dapat diperbaiki. Maka, pendekatan lain diperlukan jika kita ingin meningkatkan hasil ini.

EDIT: Bukti ini salah, lihat komentar di bawah untuk alasan yang tepat. Saat ini saya sedang mengedit jawaban untuk mencerminkan itu.

Biarkan menjadi bahasa . $A$ $\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

Pada mesin tape tunggal, ada algoritma (Anda dapat menemukan detail dari algoritma ini dalam bab 7.1.2 dari buku Sipser "Pengantar Teori Komputasi). Dalam referensi yang sama, Anda dapat melihat bahwa bahasa dalam o (n \ log n) jika dan hanya jika itu adalah biasa. Kaveh juga menyediakan makalah asli untuk klaim ini dalam pertanyaan yang ditautkan di atas. $O(n \log n)$

Dalam komentar pertanyaan saya, Ryan Williams menggambarkan algoritma untuk masalah yang sama, menggunakan 2-tape TM. $O(n)$

Asumsikan sekarang bahwa ada teknik untuk mensimulasikan multitape TM ke dalam single tape TM yang memiliki waktu berjalan , di mana adalah waktu berjalan dari simulasi TM . Dengan menerapkannya pada mesin yang diilustrasikan Ryan, kita akan mendapatkan satu kaset TM yang akan berjalan di . Oleh karena itu, adalah reguler, yang merupakan kontradiksi. Jadi, kami menyimpulkan bahwa overhead adalah yang terbaik yang bisa kami lakukan ketika mensimulasikan mesin multi tape dengan mesin single tape. $o( T(n) \log T(n) )$ $T(n)$ $o( n \log n)$ $A$ $\log T(n)$

Saya menyadari ini adalah pernyataan yang kuat, jadi saya mungkin salah dalam penafsiran saya.

Bahkan jika ada teknik yang memungkinkan untuk meningkatkan hasil ini, saya percaya bahwa tidak mungkin untuk mencocokkan hasil untuk atau . Intuisi saya berasal dari fakta berikut: $NTIME$ $SPACE$

Ada hasil yang sangat dikenal yang menyatakan . Dengan asumsi bahwa Saya percaya hasil ini ditingkatkan menjadi , untuk setiap . Jadi, kelas non-deterministik yang sangat kecil jauh lebih kuat daripada deterministik apa pun. . Jadi, mengingat seberapa kuat waktu non-deterministik sumber daya, saya berharap bahwa jumlah waktu deterministik yang lebih besar akan diperlukan untuk membuat TM lebih kuat untuk mengimbangi kekuatan non-determinisme. $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $P \neq NP$ $DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$ $k$

— chazisop
sumber

Dibutuhkan waktu kuadrat untuk mensimulasikan mesin Turing multi-tape pada mesin single-tape. Bahasa palindrom menunjukkan bahwa ini diperlukan: palindrom dapat dikenali dalam waktu pada mesin dua-pita, tetapi itu membutuhkan waktu pada mesin

O (n)

$O(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Luca Trevisan

Luca tentu saja benar (saya mengharapkan kesalahan karena kekuatan pernyataan). Kesalahan saya: Saya buru-buru mengacaukan TM single-tape standar dengan work-tape tunggal (dengan tape input non-tulis berbeda dan mungkin tape output terpisah). Ketika saya menyadari kesalahannya, saya mencoba melihat apakah keteraturan membawa ke model itu, tetapi menunjukkan bahwa itu tidak benar. Saya mengedit jawaban untuk mencerminkan fakta ini, saya harap penanya @Monoid menerimanya untuk bagian intuisi.

o (n \log n)

$o(n \log n)$

P A L I N D R O M E S

$PALINDROMES$

— chazisop

Contoh yang Luca sebutkan adalah untuk kasus di mana waktu adalah . Kasus khusus ini bermasalah pada umumnya karena perilaku mesin single-tape yang tidak kuat di kelas sekecil itu. Jadi bukan halangan jika waktunya . Menariknya bukti dari versi kuat teorema hierarki untuk tidak menggunakan simulasi tetapi argumen langsung (lihat Hartmanis 1968).

o (n^{2})

$o(n^2)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Kaveh

Untuk n-tape TM, hasil hierarki waktu yang ketat mirip dengan teorema hierarki ruang dibuktikan oleh Furer pada tahun 1982. Faktor tidak diperlukan. $\lg$

The faktor untuk teorema waktu hirarki dinyatakan dalam posting Anda hanya untuk TM single-tape. Kecuali jika Anda sangat berkomitmen pada model pita tunggal karena alasan tertentu, tidak ada perbedaan antara ruang dan waktu mengenai teorema hierarki. $\lg$

Ada beberapa alasan dan argumen untuk menggunakan TM single-tape untuk mendefinisikan kelas kompleksitas waktu, tetapi penggunaan single-tape TM untuk mendefinisikan kelas kompleksitas tidak universal, misalnya lihat Lance Fortnow dan Rahul Santhanam [2007] di mana mereka menggunakan multi-tape TMs.

Referensi asli untuk teorema hierarki waktu adalah Hennie dan Stearns [1966]. Mereka membuktikan teorema untuk mesin dua-pita. Teori Rekursi Klasik Odifreddi mengutip mereka dan Hartmanis [1968] dan menjelaskan bukti yang terlihat mirip dengan yang ada di buku Sipser.

Namun bukti untuk TM pita tunggal dalam kertas Hartmanis tidak menggunakan simulasi sederhana. Ini membedakan antara dua kasus: 1. waktu berjalan dan 2. waktu berjalan sedang . $\Omega(n^2)$ $o(n^2)$

Untuk kasus pertama menggunakan simulasi, dan tampaknya seseorang dapat menghilangkan faktor jika simulasi dapat dilakukan dengan lebih efisien. $\lg$
Untuk kasus kedua, makalah ini secara langsung memberikan bahasa untuk pemisahan dan tidak menggunakan simulasi sama sekali. Ini menggunakan sifat-sifat tertentu dari TM single-tape dengan waktu berjalan sub-kuadratik.

Kita harus mencatat bahwa TM single-tape dengan waktu tidak sekuat dan ada lowerbound kuadratik (misalnya untuk Palindrom) pada TM single-tape sedangkan TM dua-tape dapat menyelesaikan masalah seperti itu dalam waktu linier. $o(n^2)$

Seperti yang saya katakan di atas, kecuali Anda berkomitmen untuk model single-tape TM karena alasan tertentu, bahkan ketika waktu sub-kuadrat, tidak ada celah untuk diisi, teorema hierarki waktu seketat mungkin.

PS: jika kita menggunakan TM multi-tape, yaitu mesin Turing di kelas dapat memperbaikinya tetapi jumlah kaset yang berubah-ubah, hasil Fürer tidak berlaku.

Martin Fürer, " Hierarki Waktu Deterministik Ketat ", 1982
Piergiorgio Odifreddi, "Teori Rekursi Klasik", vol. II, 1999 (halaman 84)
Juris Hartmanis, " Kompleksitas Komputasi dari Komputasi Mesin Turing Satu Pita ", 1968
FC Hennie dan RE Stearns, " Simulasi Dua Pita Mesin Turing Multitape ", 1966
Makalah Lance Fortnow dan Rahul Santhanam " Time Hierarchies: A Survey ", 2007

— Kaveh
sumber

Bukankah hasil Fürer hanya berlaku untuk kasus ketika jumlah kaset dari mesin Turing sedang dipertimbangkan, yaitu, berbicara tentang kelas

menjadi jumlah kaset.

D T I M E_{k} (f)

$DTIME_k(f)$

k

$k$

— Markus Bläser

@ Markus, ya, itu benar, ini mirip dengan kasing tunggal. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa jumlah kaset lebih dari satu, tetapi masih tetap, misalnya 2 kaset.

— Kaveh

Lihat juga Krzysztof Loryś, " Hasil hierarki waktu baru untuk TM deterministik ", 1992. Referensi lain adalah Kazuo Iwama, Chuzo Iwamoto, " Peningkatan hierarki waktu dan ruang TM satu-jalur off-line ", 1998, yang meningkatkan faktor log ke log log untuk TM single-tape.

— Kaveh

Untuk jumlah kaset yang lebih besar dari satu, ) untuk konstruk waktu . Overhead logaritmik berasal dari teorema pengurangan pita, di mana sejumlah kaset dapat dikonversi menjadi dua kaset (atau bahkan hanya satu kaset dan tumpukan dan dengan hanya gerakan yang tidak sadar). $\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$ $f$

Jika jumlah kaset tidak tetap, kami tidak benar-benar memiliki teknik untuk secara konstruktif membuktikan tanpa melalui teorema pengurangan kaset. Adalah masuk akal bahwa untuk setiap mesin , -tape tidak dapat disimulasikan oleh mesin -tape tanpa overhead logaritmik. $\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$ $k$ $k+1$ $k$

Namun, itu tidak berarti teorema hierarki waktu tidak dapat ditingkatkan, atau bahwa gagal. $\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

Sebenarnya, kami sudah memiliki yang berikut ini.

Teorema: Untuk setiap dan setiap dari bentuk ( dan rasional; atau ), $ε>0$ $f$ $n^a (\log n)^b$ $a$ $b$ $a>1$ $a=1∧b≥0$ . $\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

Bukti: Jika setiap bahasa dengan algoritma keputusan dapat diputuskan dalam waktu , maka dengan mengisi input, setiap bahasa dengan $O(f)$ $O(f / (\log f)^ε)$ $O(f(n) (\log f(n))^{kε})$ algoritma keputusan dapat diputuskan dalam waktu (di mana ditetapkan), dan untuk setiap konstanta , $O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$ $k≥0$ $c≥0$ , bertentangan dengan teorema hierarki waktu. $\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

Namun, bukti non-konstruktif ini memiliki tiga batasan:
* Bukti tersebut menuntut untuk berperilaku baik (tidak hanya konstruktif waktu, tetapi juga dalam arti tertentu terus menerus). * Kita tidak tahu bahasa tertentu yang ada dalam tetapi tidak dalam . Untuk cukup besar , simulasi dari -tape Mesin Turing tidak dalam $f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $k$ $k$ , tetapi kami belum mengesampingkan bahwa bahkan untuk dan , paling sedikitadalah> BB (BB (1000)) di mana BB adalah fungsi berang-berang yang sibuk. * Kita tidak tahu bahwa penyertaannya kuat. A $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $ε=1$ $f(n)=n^2$ $k$
$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ Algoritme akan gagal untuk beberapa input, tetapi kami belum membuktikan bahwa itu gagal untuk beberapa input untuk semua ukuran input tetapi banyak (meskipun akan sangat mengejutkan jika tidak).

— Dmytro Taranovsky
sumber

Jawaban yang luar biasa !! :)

— Michael Wehar