Jumlah produk dengan koefisien terikat

Lemma berikut tidak sulit untuk dibuktikan.

Lemma : Biarkan $c_1 \neq c_2 \neq \dots \neq c_r \in [n]$ dan $k \in [n]$ . Jika adalah bilangan bulat (beberapa di antaranya mungkin negatif) sedemikian sehingga , maka bilangan bulat memuaskan sedemikian sehingga . Di sini berarti untuk beberapa konstanta positifm 1 c 1 + m 2 c 2 + ⋯ + m r c r = k $m_1, m_2, \dots, m_r$$m_1c_1 + m_2c_2 + \dots + m_rc_r = k$$\exists$$m'_1, m'_2, \dots,m'_r$| m ′ 1 | + | m ′ 2 | + ⋯ + | m ′ r | ≤ p o l y ( n ) p o l y ( n ) n c$m'_1c_1 + m'_2c_2 + \dots + m'_rc_r = k$$|m'_1|+|m'_2|+\dots+|m'_r| \leq poly(n)$$poly(n)$$n^c$$c$ .

Saya menduga bahwa lemma di atas terkenal. Saya mencari referensi lemma di atas dan kemungkinan terikat terbaik untuk .$poly(n)$

Batasan dapat diperoleh oleh lemma Bézout :$O(n^2 \log r)$

$0 < c_i \leq n$m i | m i | ≤ n log $\gcd(c_1,\ldots,c_r) = \sum_i m_i c_i$$m_i$$|m_i| \leq n \log r$

Lemma ini diperoleh dengan menerapkan lemma Bézout secara rekursif pada dua variabel dan identitas .$\gcd(x_1,x_2,x_3) = \gcd(\gcd(x_1,x_2),x_3)$

Tanpa kehilangan keumuman menganggap bahwa dengan membagi di kedua sisi . Oleh Bézout's lemma ada bilangan bulat dengan sedemikian rupagcd ( c 1 , … , c r ) ∑ i m i c i = k m i | m i | ≤ n log $\gcd(c_1,\ldots,c_r) = 1$$\gcd(c_1,\ldots,c_r)$$\sum_i m_i c_i = k$$m_i$$|m_i| \leq n \log r$

dengan mengamati kita memiliki diinginkan dengan .m ′ i = k ⋅ m i | m ′ i | = O ( n 2 log r $k = O(n)$$m'_i = k \cdot m_i$$|m'_i| = O(n^2 \log r)$

Jika Anda mencari literatur, kata kuncinya adalah persamaan Diophantine linier yang tidak homogen , yaitu persamaan ketika . Untuk yang homogen, seseorang dapat memperoleh ikatan linier pada, Lihat misalnya ini atau makalah ini . Sedangkan untuk yang tidak homogen, saya belum menemukan hasil seperti itu; namun makalah ini tampaknya relevan.k = 0 | m ′ i$\sum_i m_i c_i = k$$k = 0$$|m_i'|$