Max-cut kuadrat Euclidean dalam dimensi rendah

Biarkan menjadi poin di dalam pesawat . Pertimbangkan grafik lengkap dengan titik sebagai simpul dan dengan bobot ujung . Bisakah Anda selalu menemukan potongan berat yang setidaknya dari total berat? Jika tidak, konstanta mana yang harus menggantikan ? $x_1, \ldots, x_n$ $\mathbb{R}^2$ $\|x_i - x_j\|^2$ $\frac 2 3$ $\frac 2 3$

Contoh terburuk yang dapat saya temukan adalah 3 poin pada segitiga sama sisi, yang mencapai $\frac 2 3$ . Perhatikan bahwa pemisahan acak akan menghasilkan $\frac 1 2$ , tetapi tampaknya secara intuitif jelas bahwa dalam dimensi rendah, seseorang dapat mengelompok lebih baik daripada secara acak.

Apa yang terjadi untuk max-k-cut untuk k> 2? Bagaimana dengan dimensi d> 2? Apakah ada kerangka kerja untuk menjawab pertanyaan seperti itu? Saya tahu tentang ketidaksetaraan Cheeger, tetapi itu berlaku untuk sparsest cut (bukan max-cut) dan hanya berfungsi untuk grafik biasa.

(Pertanyaan terinspirasi oleh masalah pengelompokan sumber cahaya dalam grafik komputer untuk meminimalkan variasi).

— Milos Hasan
sumber

Ada perkiraan 1-2 / k sederhana untuk Max k-Cut, dan untuk k> 2 Anda dapat menemukan potongan besar yang baik tetapi untuk k = 2 Anda dapat melihat www-math.mit.edu/ ~ goemans/PAPERS/maxcut -jacm.pdf dan topik terkait, saya pikir jika Anda menemukan potongan yang baik dengan probabilitas hi Anda dapat mengatakan ada potongan dengan 2/3 atau tidak, setidaknya kisaran kemungkinan akan terbatas.

— Saeed

Namun perlu dicatat bahwa fungsi berat di sini adalah jarak euclidean SQUARED, yang bukan metrik.

— Suresh Venkat

Saya kira max cut memiliki pta, atau mungkin bahkan algoritma polytime untuk contoh ini, tetapi pertanyaan spesifiknya sangat menarik. Apakah jelas berapa potongan maksimum ketika simpul diberi jarak yang sama di sepanjang siklus, dan bahwa contoh dalam kelas ini yang meminimalkan pemotongan maksimum adalah tiga simpul dengan jarak yang sama? Karena mungkin ada argumen yang menunjukkan bahwa setiap konfigurasi titik dapat dikonversi ke konfigurasi `simetris 'tanpa meningkatkan rasio pemotongan maksimum dengan berat total, dan mungkin cukup untuk memahami hanya konfigurasi yang sangat simetris

— Luca Trevisan

Juga, apa yang terjadi dalam satu dimensi? Dimungkinkan untuk menemukan konfigurasi yang pemotongan maksimumnya sekitar 2/3 dari berat total (satu titik -1, satu titik +1, 4 poin sangat dekat dengan nol; berat total 12 dan optimal adalah 8). Apakah 2/3 rasio terkecil yang mungkin dari pemotongan maksimum terhadap berat total dalam 1 dimensi?

— Luca Trevisan

@ Luca: Ya, 1D juga tidak sepele. Secara intuitif, konstanta harus mendekati 1/2 saat dimensi bertambah. Untuk kasus 2D, kita dapat mengasumsikan bahwa pusat gravitasi berada pada (0,0) dan bahwa semua titik cocok dalam lingkaran satuan. Mungkin ada beberapa argumen "titik tolak" yang mendorong titik-titik ke arah lingkaran unit sambil tidak menambah bobot potong, yang akan membantu, tapi saya tidak bisa menjabarkannya.

— Milos Hasan

Jawaban:

Konstanta cenderung 1/2 ketika dimensi meningkat. Dalam dimensi d, Anda dapat memiliki d + 1 poin pada jarak satu sama lain, sehingga jumlah jarak kuadrat adalah dan potongan maksimum paling banyak , yang merupakan fraksi dari total berat ${d+1 \choose 2}$ $(d+1)^2/4$ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— Luca Trevisan
sumber

OK, tapi mengapa konfigurasi d + 1 menunjuk pada jarak 1 dari satu sama lain merupakan kasus terburuk? Ini tampaknya masuk akal, tetapi apakah itu jelas? (Dan untuk d = 1, dua titik pada jarak 1 dari satu sama lain jelas bukan kasus terburuk; konfigurasi 6 poin yang Anda berikan di atas lebih buruk. Mungkinkah d = 1 adalah satu-satunya kasus patologis, dan berfungsi for d> = 2?)

— Milos Hasan

@ Milos saya tidak yakin saya mengerti. kami tahu 0,5 dapat dicapai, dan contoh ini menunjukkan bahwa Anda tidak dapat melakukan yang lebih baik. Namun itu tidak mematahkan dugaan 2/3 untuk pesawat.

— Suresh Venkat

@ Suresh: Apa yang benar-benar saya cari adalah membuktikan bahwa Anda dapat melakukan lebih baik dalam dimensi rendah, yaitu saya tertarik pada urutan nilai aktual konstanta terburuk untuk d rendah tertentu.

— Milos Hasan

Saya benar-benar ingin membuktikan kesenjangan sebenarnya antara 1/2 dan 2/3 untuk rendah d. Ini akan memiliki konsekuensi yang menarik, yaitu bahwa Anda dapat mengalahkan penjumlahan / integrasi Monte Carlo (dengan membagi masalah Anda menjadi sub-masalah dengan cerdas alih-alih secara acak), jika masalah Anda secara intrinsik berdimensi rendah (ada banyak yang).

— Milos Hasan

Meskipun ini hanya jawaban untuk huruf d besar, ini menunjukkan kesulitan apa yang dapat muncul dalam analisis kasus huruf kecil-d. Misalkan, dalam 2 dimensi, Anda bisa memiliki lima titik yang kuadrat-jaraknya berpasangan adalah antara 1 dan 1,1. Maka total berat setidaknya 10 dan maksimum adalah paling banyak 6,6. Jika 2/3 adalah jawaban yang tepat untuk dua dimensi, Anda harus dapat menunjukkan bahwa jika Anda memiliki lima titik sedemikian rupa sehingga semua jarak euclidean berpasangan setidaknya satu, salah satu jarak euclidean berpasangan setidaknya . Bagaimana menurut Anda?

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

— Luca Trevisan

Ambil 3 poin A, B, C pada segitiga sama sisi dan tambahkan 3 poin D, E, F, di tengah. Jelas Anda menginginkan dua A, B, C di satu sisi potongan, jadi katakanlah potongan pada tiga poin ini adalah (AB; C). Sekarang, masing-masing titik D, E, F harus berada di sisi C dari potongan, sehingga potongan optimal adalah (AB; CDEF), dan rasionya mudah diperiksa menjadi 2/3.

Sekarang, gerakkan masing-masing titik D, E, F sedikit menjauh dari pusat untuk membentuk segitiga sama sisi kecil. Tidak masalah ke arah mana, selama mereka simetris di sekitar pusat. Jika Anda memindahkan mereka jarak yang cukup kecil, potongan optimal masih harus (AB; CDEF). Pertimbangkan panjang potongan ini. Tepi (AC, BC) membentuk 2/3 dari total panjang tepi (AB, BC, AC). Secara simetri, panjang total tepi (AD, AE, AF, BD, BE, BF) adalah 2/3 dari panjang tepi (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF ). Tapi tidak ada ujungnya (DE, EF, DF) yang ada di cut. Jadi rasio pemotongan ini sangat kurang dari 2/3.

Anda harus dapat mengoptimalkan konstruksi ini untuk menemukan konfigurasi di mana potongan optimal secara signifikan kurang dari 2/3. Cobalah, saya mengerti bahwa jika Anda mengambil enam poin yang disusun dalam dua segitiga sama sisi yang memiliki pusat yang sama, dengan yang lebih kecil ukuran yang lebih besar, maka maks menjadi berat total, bukan . $(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— Peter Shor
sumber

Bagus, kamu benar! Nah, dugaan elegan lain menggigit debu ... Ini masih merupakan pertanyaan terbuka meskipun apakah konstanta di pesawat lebih besar dari 1/2, atau apakah Anda dapat mencapai dengan cluster , di mana . Saya akan lebih memikirkannya.

1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

— Milos Hasan

Dugaan saya adalah bahwa jawaban yang benar adalah sesuatu yang tidak terlalu rendah dari 0,64, tetapi saya tidak tahu bagaimana cara menunjukkan batas bawah.

— Peter Shor