Hubungan antara parameter tetap dan algoritma aproksimasi

Parameter dan pendekatan tetap adalah pendekatan yang sama sekali berbeda untuk menyelesaikan masalah yang sulit. Mereka memiliki motivasi yang berbeda. Perkiraan mencari hasil yang lebih cepat dengan solusi perkiraan. Parameter tetap mencari solusi yang tepat dengan kompleksitas waktu dalam hal eksponensial atau beberapa fungsi k dan fungsi polinomial dari n di mana n adalah ukuran input dan k adalah parameter. Contoh $2^kn^3$ .

Sekarang pertanyaan saya, apakah ada hasil batas atas atau bawah berdasarkan hubungan antara parameter tetap dan pendekatan pendekatan atau mereka benar-benar tidak memiliki hubungan apa pun. Misalnya untuk masalah $P$ dikatakan $W[i]$ sulit untuk beberapa $i>0$ tidak ada hubungannya dengan memiliki algoritma c-aproksimasi atau PTAS. tolong berikan beberapa referensi

Ada beberapa koneksi antara kompleksitas parameter dan algoritma aproksimasi.

Pertama, pertimbangkan parameterisasi standar yang disebut masalah. Di sini, parameter adalah apa yang akan Anda optimalkan dalam versi optimisasi masalah (ukuran penutup simpul untuk masalah Penutup Vertex, lebar penguraian pohon untuk masalah Treewidth, dll.). Mari kita secara konkret melihat Vertex Cover. Setiap kernel dengan jumlah linear dari simpul untuk Vertex Cover menyiratkan faktor konstan algoritma pendekatan polinomial-waktu: ke dalam solusi perkiraan, masukkan semua simpul yang telah dipaksa ke dalam solusi oleh algoritma kernelisasi, dan semua simpul dari contoh kernel . Di sisi lain, batas bawah pada faktor aproksimasi menyiratkan batas bawah pada ukuran kernel. Misalnya, di bawah Konjektur Game Unik, Khot dan Regev (JCSS 2008)mengesampingkan algoritma pendekatan untuk Vertex Tutup dengan rasio setiap , yang aturan dari sebuah kernel untuk Vertex Tutup dengan paling c k simpul, c < 2 , juga.$c<2$$ck$$c<2$

EDIT: Argumentasi untuk batas bawah kernel pada paragraf sebelumnya sangat informal, dan sejauh pengetahuan saya, terbuka apakah batas bawah pada ukuran kernel dapat dibuktikan, bahkan untuk Penutup Vertex. Seperti @Falk tunjukkan dalam komentar, argumen berlaku untuk sebagian besar (semua?) Kernel yang dikenal. Namun, saya tidak melihat bagaimana orang bisa mengecualikan keberadaan algoritma kernelisasi di mana solusi yang layak dari contoh kernel memiliki rasio perkiraan yang berbeda dari solusi yang sesuai dalam contoh awal.

Lalu, ada masalah PTAS versus FPTAS. Jika kita ingin menemukan solusi dalam dari optimal, kita dapat membuat parameter dengan 1 / ϵ . Kemudian, PTAS sesuai dengan algoritma XP dalam pengaturan parameter, sedangkan FPTAS sesuai dengan algoritma FPT. Untuk perkiraan batas bawah, kita mungkin tidak mengharapkan EPTAS untuk masalah yang parameterisasi standarnya adalah W [1] -hard: menjalankan EPTAS dengan ϵ = 1 / ( k + 1 ) akan menyelesaikan masalah tepat pada waktu FPT.$(1+\epsilon)$$1/\epsilon$$\epsilon=1/(k+1)$

Akhirnya, algoritma aproksimasi FPT adalah sebuah algoritma dengan FPT running time dan rasio aproksimasi yang mungkin tergantung pada parameter. Sebagai contoh, parameterisasi standar masalah Cliquewidth memiliki algoritma aproksimasi FPT dengan rasio aproksimasi (Oum, WG 2005) , sedangkan parameterisasi standar Independent Dominating Set tidak memiliki algoritma aproksimasi FPT dengan rasio kinerja g ( k ) untuk setiap fungsi yang dapat dihitung g , kecuali FPT = W [2] (Downey et al., IWPEC 2006) . Lihat (Marx, The Computer Journal 2008)$(2^{3k+2}-1)/k$ $g(k)$$g$ untuk survei tentang perkiraan FPT.

Ada teorema yang diketahui [1, Teorema 3.1], yang mencirikan kelas pendekatan melalui kelas parameter P F P T T :$FPTAS$$PFPT$

$Q=(I_Q, S_Q, f_Q, opt_Q)$$NP$$Q$$FPTAS$$Q$$PFPT$

$PFPT$

$NP$$Q$$PFPT$$O(|x|^{O(1)}k^{O(1)})$$|x|$$x$

Karakterisasi lain untuk dua kelas aproksimasi diusulkan dalam [2, Teorema 6.5].

Masalahnya adalah

• $PTAS$$ptas^{\infty}$$XP^w$

• $FPTAS$$fptas^{\infty}$$PFPT^w$

$(f)ptas^{\infty}$$(XP)PFPT^w$$\frac{1}{\epsilon}$

1. Skema perkiraan waktu polinomial dan kompleksitas parameter . J. Chen et al. / Matematika Terapan Diskrit 155 (2007) 180 - 193.
2. Struktur Perkiraan Polinomial-Waktu . EJ van Leeuwen et al. Laporan Teknis UU-CS-2009-034, Desember 2009.