Keberadaan

10

Pertimbangkan masalah Set yang Mendominasi dalam grafik umum, dan biarkan menjadi jumlah simpul dalam grafik. Algoritma pendekatan serakah memberikan jaminan perkiraan faktor , yaitu mungkin untuk menemukan dalam waktu polinomial solusi sedemikian rupa sehingga , di mana adalah ukuran set dominasi minimum. Ada batas yang menunjukkan bahwa kita tidak dapat meningkatkan ketergantungan pada banyak $n$ $1 + \log n$ $S$ $|S| \leq (1 + \log n) opt$ $opt$ $\log n$ http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf .

Pertanyaan saya: apakah ada algoritma pendekatan yang memiliki jaminan dalam hal bukannya ? Dalam grafik di mana sangat besar sehubungan dengan optimal, sebuah factor pendekatan akan jauh lebih buruk daripada faktor pendekatan. Apakah sesuatu seperti itu diketahui, atau adakah alasan mengapa ini tidak ada? Saya senang dengan algoritma waktu polinomial yang menghasilkan solusi sedemikian rupa sehingga untuk beberapa konstanta $opt$ $n$ $n$ $\log n$ $\log opt$ $S$ $|S| \in O(opt^c)$ $c$ .

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— Bart Jansen
sumber

14

Saya pikir itu masih terbuka jika Dominating Set atau Hitting Set memiliki aproksimasi (OPT) untuk beberapa fungsi (nontrivial) f. Ini harus menjadi pertanyaan yang sangat sulit (dan mungkin dalam) untuk dijawab. Saya menganggapnya sebagai pertanyaan paling menarik dalam perkiraan parameter (bersama dengan pertanyaan analog untuk Clique). Anda mungkin ingin melihat survei saya [1] yang membahas hal ini. Perhatikan bahwa ditunjukkan dalam makalah yang lebih baru [2] bahwa "kepuasan sirkuit monoton untuk sirkuit weft-2", masalah yang lebih umum daripada Dominating Set, tidak memiliki pendekatan f (OPT) untuk f.

[1] D. Marx. Kompleksitas parameterisasi dan algoritme aproksimasi. The Computer Journal, 51 (1): 60-78, 2008.

[2] D. Marx. Masalah parameterisasi monoton dan antimonoton yang sama sekali tidak dapat diperkirakan. Dalam Prosiding Konferensi IEEE Tahunan ke-25 tentang Kompleksitas Komputasi, Cambridge, Massachusetts, 181-187, 2010.

— Daniel Marx
sumber

Terima kasih untuk referensi! Ini menjawab pertanyaan saya dengan baik.

— Bart Jansen

Mungkin juga menarik untuk melihat catatan Nelson berikut yang menunjukkan bahwa seseorang tidak bisa mendapatkan rasio baik yang hanya bergantung pada jumlah set. eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2007/TR07-105/revisn01.pdf

— Chandra Chekuri

2

Ini harus menjadi komentar, karena tidak langsung menjawab pertanyaan Anda, tetapi pertanyaan terkait. Mungkin trik serupa dari [1] akan memberi Anda jawaban.

Dalam [1] yang berikut ini terbukti:

$G=(V,E)$ $k$ $k$ $G$ $g(k)$ $g(k)$ $k$ $G$ $k$

$g(k)$

[1] Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Catherine McCartin dan Frances Rosamond. "Pendekatan Parameter dari Mendominasi Masalah Set". Pemrosesan Informasi Surat, Volume 109 Edisi 1, Desember, 2008.

— Ruub
sumber

1

Trik dalam [1] didasarkan pada fakta bahwa Independent Dominating Set sebagai masalah maksimisasi bukan monoton: subset dari solusi yang layak tidak selalu merupakan solusi yang layak (yang biasanya merupakan kasus untuk masalah maksimisasi yang memiliki perkiraan yang berarti). Oleh karena itu, sangat mungkin bahwa setiap solusi yang layak memiliki ukuran yang sama, membuat perkiraan tidak relevan.

— Daniel Marx