Setiap masalah algoritmik memiliki kompleksitas waktu yang didominasi oleh penghitungan?

Yang saya sebut penghitungan adalah masalah yang terdiri dari menemukan sejumlah solusi untuk suatu fungsi. Lebih tepatnya, diberi fungsi (tidak harus kotak hitam), perkiraan # { x ∈ N ∣ f ( x ) = 1 } = | f - 1 ( 1 ) | .$f:N\to \{0,1\}$$\#\{x\in N\mid f(x)= 1\}= |f^{-1}(1)|$

Saya mencari masalah algoritmik yang melibatkan semacam penghitungan dan kompleksitas waktu sangat dipengaruhi oleh masalah penghitungan mendasar ini.

Tentu saja, saya mencari masalah yang tidak termasuk masalah sendiri. Dan akan sangat dihargai jika Anda dapat memberikan dokumentasi untuk masalah ini.

Ini adalah kelanjutan dari jawaban Suresh. Seperti yang dia katakan, ada banyak masalah konstruksi dalam geometri komputasi di mana kompleksitas dari output adalah batas bawah sepele pada waktu berjalan dari algoritma apa pun. Sebagai contoh: pengaturan garis planar, diagram Voronoi 3 dimensi, dan grafik visibilitas planar semuanya memiliki kompleksitas kombinatorial dalam kasus terburuk, sehingga setiap algoritma yang membangun objek-objek tersebut secara sepele memerlukan Ω ( n 2 ) waktu dalam kasus terburuk . (Ada algoritma O ( n 2 ) -waktu untuk ketiga masalah tersebut.)$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$O(n^2)$

Tetapi kendala serupa juga diperkirakan untuk diterapkan pada masalah keputusan juga. Sebagai contoh, diberikan satu set n garis di pesawat, seberapa mudah Anda dapat memeriksa apakah ada tiga garis yang melewati titik umum? Nah, Anda bisa membangun susunan garis (grafik planar ditentukan oleh titik persimpangan mereka dan segmen di antara mereka), tetapi itu membutuhkan waktu . Salah satu hasil utama dari tesis PhD saya adalah bahwa dalam model perhitungan pohon keputusan alami tetapi terbatas, Ω ( n 2 ) waktu diperlukan untuk mendeteksi persimpangan tiga. Secara intuitif, kita harus menghitung semua $\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$ titik persimpangan dan cari duplikat.$\binom{n}{2}$

Demikian pula, ada satu set angka di mana tiga kali lipat elemen dijumlahkan menjadi nol. Oleh karena itu, setiap algoritma (dimodelkan oleh kelas tertentu dari pohon keputusan) untuk menguji apakah suatu himpunan mengandung tiga unsur yang jumlah ke nol memerlukan Ω ( n 2 ) waktu . (Mungkin untuk mencukur beberapa log melalui paralelisme tingkat bit, tetapi apa pun.)$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$

Contoh lain, juga dari tesis saya, adalah masalah Hopcroft: Diberi poin dan n garis dalam pesawat, apakah ada titik yang mengandung garis apa pun. Jumlah kasus terburuk dari kejadian titik-line dikenal Θ ( n 4 / 3 ) . Saya membuktikan bahwa dalam model terbatas (tapi masih alami) dari perhitungan, Ω ( n 4 / 3 ) waktu diperlukan untuk menentukan apakah ada bahkan satu kejadian point-line. Secara intuitif, kita harus menghitung semua Θ ( n 4 / 3 ) di dekat$n$$n$$\Theta(n^{4/3})$$\Omega(n^{4/3})$$\Theta(n^{4/3})$ -pikiran dan periksa masing-masing untuk melihat apakah itu benar-benar kejadian.

Secara formal, batas bawah ini masih hanya dugaan, karena mereka membutuhkan model komputasi yang terbatas, yang khusus untuk masalah yang dihadapi, terutama untuk masalah Hopcroft). Namun, membuktikan batas bawah untuk masalah ini dalam model RAM mungkin sama sulitnya dengan masalah batas bawah lainnya (yaitu, kami tidak memiliki petunjuk) - lihat makalah SODA 2010 oleh Patrascu dan Williams yang menghubungkan generalisasi 3SUM dengan waktu eksponensial. hipotesa.

$|V|^{2.376}$

Valiant membuktikan bahwa masalah menemukan matriks permanen sudah selesai untuk #P . Lihat halaman wikipedia tentang masalah ini. #P adalah kelas kompleksitas yang berhubungan dengan menghitung jumlah jalur penerimaan mesin NP.

Bipartite Planar (dan log genus) Pencocokan Sempurna adalah masalah di mana algoritma Kastelyn untuk menghitung pencocokan planar (diperpanjang oleh Galluccio dan Loebl dan disejajarkan oleh Kulkarni, Mahajan & Vardarajan) memainkan peran penting bahkan dalam versi pencarian masalah. Semua referensi yang relevan dapat ditemukan di makalah berikut:

Beberapa pencocokan sempurna dan pencocokan setengah integral sempurna di NC. Raghav Kulkarni, Meena Mahajan dan Kasturi R. Varadarajan. Chicago Journal of Theoretical Computer Science, Volume 2008 Pasal 4.

Saya akan menganggap "sangat dipengaruhi" sebagai kendala lunak alih-alih pengurangan. Dalam hal itu, masalah BANYAK dalam geometri komputasi memiliki waktu berjalan yang dibatasi oleh beberapa struktur kombinatorial yang mendasarinya. misalnya, kompleksitas komputasi suatu susunan bentuk secara langsung terkait dengan kompleksitas intrinsik pengaturan tersebut.

Contoh lain topikal dari ini adalah bahwa berbagai masalah dalam pencocokan pola titik memiliki waktu berjalan yang bermuara pada memperkirakan jumlah seperti jumlah jarak yang diulang dalam set titik, dan sebagainya.

Tidak yakin apakah ini yang Anda cari tetapi transisi fase masalah NP-Complete sangat bergantung pada argumen probabilistik, yang hanyalah bentuk penghitungan lain.

LLL telah digunakan untuk memecahkan beberapa masalah Subset Sum 'low-density', yang keberhasilannya bergantung pada vektor kisi pendek probabilitas tinggi yang ada yang memenuhi kriteria sebagai solusi Subset Sum. Propagasi Survei bergantung pada struktur ruang solusi (dan jumlah solusi saat memperbaiki variabel) untuk menemukan solusi di dekat ambang kritis.

Borgs, Chayes dan Pittel telah cukup banyak menandai fase transisi dari Masalah Partisi Nomor Acak (Seragam) dan dengan demikian telah mengkarakterisasi berapa banyak solusi yang dapat diharapkan untuk sebuah contoh (masalah) Number Partition Problem yang diberikan (acak).