Konteks.
Saya menulis tentang topik-topik seperti teorema Gottesman-Knill , menggunakan grup stabilisator Pauli, tetapi dalam kasus qudit d- dimensional - di mana d mungkin memiliki lebih dari satu faktor utama. (Saya menekankan ini karena sebagian besar literatur tentang stabilisator stabilizer dalam "dimensi yang lebih tinggi" melibatkan kasus d prima atau d kekuatan prima, dan memanfaatkan bidang terbatas; Saya sedang mempertimbangkan kelompok siklik ℤ d .)
Untuk dimensi apa pun, saya mencirikan grup stabilisator (Pauli) sebagai subkelompok abelian dari grup Pauli, di mana setiap operator memiliki ruang eigens +1 .
Saya menulis tentang hasil yang terkenal dengan d = 2 (dan mudah digeneralisasi ke d prime):
Grup stabilizer menstabilkan keadaan murni unik jika dan hanya jika maksimal
di mana secara maksimal, maksud saya bahwa ekstensi apa pun terletak di luar grup Pauli, atau non-abelian, atau berisi operator tanpa nilai eigen +1.
Bukti hasil seperti itu untuk d prime biasanya bergantung pada fakta bahwa ℤ d 2n adalah ruang vektor ( yaitu bahwa ℤ d adalah bidang): ini tidak berlaku untuk komposit d . Ada dua sumber: menggeneralisasi bukti yang ada dengan cara yang kuat terhadap keberadaan nol divisi ( misalnya menggunakan alat seperti bentuk normal Smith ), atau menghindari teori bilangan sama sekali dan menggunakan ide-ide seperti hubungan ortogonalitas dari operator Pauli.
Masalah.
Saya sebenarnya sudah memiliki bukti singkat tentang hasil ini, pada dasarnya menggunakan tidak lebih dari hubungan ortogonalitas operator Pauli. Tetapi saya curiga bahwa saya pernah melihat sesuatu seperti itu sebelumnya, dan saya ingin merujuk pada seni sebelumnya jika saya bisa (belum lagi melihat apakah ada teknik yang lebih baik daripada yang saya gunakan, yang sementara tidak berat terasa kurang sempurna. ).
Tentu saja makalah Knill [quant-ph / 9608048] dan [quant-ph / 9608049] mempertimbangkan subjek yang serupa dan menggunakan teknik yang serupa; tetapi saya tidak dapat menemukan hasil yang saya cari di sana, atau di [quant-ph / 9802007] Gottesman . Saya berharap seseorang dapat mengarahkan saya ke tempat bukti seperti itu mungkin telah diterbitkan sebelumnya.
Catatan - hasil yang saya pertimbangkan bukanlah yang menghubungkan kardinalitas kelompok dengan dimensi ruang yang distabilkan (yang bagus, tetapi sepele untuk membuktikan dan menemukan referensi); Saya prihatin secara khusus dengan menunjukkan bahwa grup stabilizer apa pun yang tidak dapat diperpanjang menstabilkan keadaan unik, dan sebaliknya. Referensi ke bukti bahwa setiap kelompok penstabil maksimal memiliki kardinalitas yang sama akan baik-baik saja; tetapi sekali lagi, itu tidak boleh bergantung pada d menjadi prima atau ℤ d 2n menjadi ruang vektor.