Balls and Bins analysis dalam rezim m >> n.

Sudah diketahui umum bahwa jika Anda melempar n bola ke dalam n bin, nampan yang paling banyak dimuat kemungkinan besar memiliki $O(\log n)$ bola di dalamnya. Secara umum, orang dapat bertanya tentang $m > n$ bola dalam $n$ nampan. Sebuah makalah dari RANDOM 1998 oleh Raab dan Steger mengeksplorasi ini dalam beberapa detail, menunjukkan bahwa ketika $m$ meningkat, probabilitas untuk pergi bahkan sedikit di atas nilai yang diharapkan dari $m/n$ menurun dengan cepat. Secara kasar, pengaturan $r = m/n$ , mereka menunjukkan bahwa kemungkinan melihat lebih dari $r + \sqrt{r\log n}$ adalah$o(1)$.

Makalah ini muncul pada tahun 1998, dan saya belum menemukan yang lebih baru. Adakah hasil baru dan bahkan lebih terkonsentrasi di sepanjang garis ini, atau adakah alasan heuristik / formal untuk mencurigai bahwa ini adalah yang terbaik yang bisa didapat? Saya harus menambahkan bahwa makalah terkait pada varian pilihan ganda yang ditulis bersama oleh Angelika Steger pada tahun 2006 juga tidak mengutip karya terbaru.

Pembaruan : Menanggapi komentar Peter, izinkan saya mengklarifikasi hal-hal yang ingin saya ketahui. Saya punya dua tujuan di sini.

1. Pertama, saya perlu tahu referensi mana yang dikutip, dan sepertinya ini adalah karya terbaru.
2. Kedua, memang benar bahwa hasilnya cukup ketat dalam kisaran r = 1. Saya tertarik pada kisaran m >> n, dan khususnya di ranah tempat r mungkin berupa log poli n, atau bahkan n ^ c. Saya mencoba untuk memasukkan hasil ini ke dalam lemma yang saya buktikan, dan ikatan spesifik pada r mengontrol bagian lain dari keseluruhan algoritma. Saya pikir (tetapi saya tidak yakin) bahwa kisaran pada r yang disediakan oleh makalah ini mungkin cukup, tetapi saya hanya ingin memastikan tidak ada batas yang lebih ketat (yang akan menghasilkan hasil yang lebih baik).

Bukan benar-benar jawaban yang lengkap (atau referensi yang bermanfaat), tetapi hanya komentar yang agak panjang. Untuk setiap bin yang diberikan, probabilitas memiliki bola tepat dalam bin akan diberikan oleh p B = ($B$. Kita dapat menggunakan ketidaksetaraan karena Sondow,((b+1)$p_B = \binom{m}{B} \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$, untuk menghasilkanpB<((r+1)r+$\binom{(b+1)a}{a}<\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$, denganr=$p_B < \left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right)^B \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$. Perhatikan bahwa batas ini cukup ketat, karena a ( (b+1)$r=\frac{m}{B}-1$.$\binom{(b+1)a}{a}>\frac{1}{4ab}\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$

Jadi kita memiliki . Sekarang, karena Anda tertarik kemungkinan menemukan B atau lebih bola dalam bin kita dapat mempertimbangkan p ≥ B = Σ m b = B p b$p_B < e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - m\ln n + (m-B)\ln (n-1)}$$B$ . Mengatur ulang ketentuan, kita mendapatkan p ≥ B < e - m ln $p_{\geq B} = \sum_{b=B}^{m} p_b < \sum_{b=B}^{m} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - m\ln n + (m-b)\ln (n-1)}$

$$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \sum_{b=0}^{m-B} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - b\ln (n-1)}.$$

Perhatikan bahwa penjumlahan di atas hanyalah seri geometris, jadi kita dapat menyederhanakan ini untuk memberikan Jika kita menulis ulang(r+1)r+

$$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)}.$$ istilah menggunakan eksponensial, kita mendapatkan p≥B<e-mln$\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}$yang kemudian menjadip≥B<e - m ln $$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}},$$ $$p_{\geq B} < \frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}}.$$

$B$$p_{\geq B} < \frac{C}{n}$$C$$B$$C$

$$\frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}} = \frac{C}{n},$$ yang dapat ditulis ulang sebagai $$B = \frac{\ln\left(\frac{C}{n} e^{m\ln \frac{n}{n-1}} \left(1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right) + e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{(r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1)}.$$

Saya tidak sepenuhnya yakin seberapa bermanfaat komentar ini bagi Anda (sangat mungkin saya membuat kesalahan di suatu tempat), tetapi mudah-mudahan ini bisa bermanfaat.