Berapa banyak DFA menerima dua string yang diberikan?

Perbaiki bilangan bulat $n$ dan alfabet $\Sigma=\{0,1\}$ . Tentukan $DFA(n)$ sebagai kumpulan semua automata kondisi terbatas pada $n$ status dengan kondisi awal 1. Kami sedang mempertimbangkan semua DFA (tidak hanya yang terhubung, minimal, atau non-degenerasi); demikian, $|DFA(n)| = n^{2n}2^n$ .

Sekarang perhatikan dua string dan menentukan menjadi jumlah unsur yang menerima kedua dan . $x,y\in\Sigma^*$ $K(x,y)$ $DFA(n)$ $x$ $y$

Pertanyaan: Apa kompleksitas komputasi ? $K(x,y)$

Pertanyaan ini memiliki implikasi untuk pembelajaran mesin .

Sunting: Sekarang ada karunia pada pertanyaan ini, saya kira sedikit lebih tepat dalam perumusan dalam urutan. Untuk , misalkan menjadi koleksi automata, sebagaimana didefinisikan di atas. Untuk , mendefinisikan menjadi jumlah automata di yang menerima kedua $n\ge1$ $DFA(n)$ $n^{2n}2^n$ $x,y\in\{0,1\}^*$ $K_n(x,y)$ $DFA(n)$ dan . Pertanyaan: dapatkah dihitung dalam waktu ? $x$ $y$ $K_n(x,y)$ $poly(n,|x|,|y|)$

— Aryeh
sumber

Jika Anda memperbaiki DFA tanpa memperbaiki keadaan akhir, maka ia memetakan x dan y ke keadaan yang sama, dalam hal ini satu-satunya kendala adalah bahwa negara harus final, atau memetakannya ke dua negara yang berbeda, dalam hal ini satu-satunya kendala adalah bahwa keduanya harus final. Dengan demikian, saya akan menulis ulang masalah Anda sebagai "berapa banyak DFA memetakan x dan y ke berbagai negara?".

— a3nm

Aryeh, bisakah kamu menjelaskan hitungan

? Saya tidak bisa mendapatkan faktor

. Ditambahkan: Ups, saya lupa menentukan status akhir. Ngomong-ngomong, demi orang lain, begini caranya. Untuk setiap negara bagian, tentukan ke mana harus memasukkan input

dan

; yang menyumbang

. Tentukan set kondisi akhir; itu

n^{2 n} 2^{n}

$n^{2n} 2^n$

2^{n}

$2^n$

0

$0$

1

$1$

n^{2 n}

$n^{2n}$

2^{n}

$2^n$

— Srivatsan Narayanan

Memang, saya tidak peduli apa yang terjadi pada string selain

dan

. Saya kira orang perlu sejumlah poin untuk memulai hadiah?

x

$x$

y

$y$

— Aryeh

Otomat terkecil yang menerima

dan

memiliki status tunggal, jadi saya tidak berpikir itu sangat informatif ...

x

$x$

y

$y$

— Aryeh

Berikut ini sebuah ide: kita hanya perlu mengetahui jumlah DFA

negara yang berakhir pada keadaan yang sama pada

dan

. Biarkan angka ini menjadi

dan

menjadi jumlah total DFA, yaitu

. Maka jawabannya adalah

n

$n$

x

$x$

y

$y$

m

$m$

M

$M$

M = n^{2 n} 2^{n}

$M=n^{2n}2^{n}$

, ini memberi batas. Untuk menghitung

ide lain adalah kita dapat melupakan segmen awal bersama

dan

dan juga berasumsi bahwa wlog

dan

. Kami hanya menghitung jumlah DAG biner denganstatus

dan tinggi paling banyak

yang

dan

berakhir di tempat yang sama dan dari situ mudah untuk menghitung

\frac{1}{2} m + \frac{1}{4} (M - m)

$\frac{1}{2}m + \frac{1}{4}(M-m)$

m

$m$

x

$x$

y

$y$

x = 0^{a}

$x=0^a$

b = 1^{b}

$b=1^b$

l

$l$

max {a, b}

$\max\{a,b\}$

0^{a}

$0^a$

1^{b}

$1^b$

m

$m$

— Kaveh

Jawaban:

Jadi pertanyaannya cukup singkat tetapi sangat menarik. Saya mengira bahwa inputnya adalah dalam unary, dan dan dalam biner (atau kita memiliki masalah, seperti yang ditunjukkan oleh jawaban Kai). $n$ $x$ $y$

Pertama-tama, jika Anda tertarik untuk mengetahui sekitar, maka Anda hanya dapat menghasilkan beberapa DFA acak dan ini akan memberi Anda (whp) perkiraan yang baik. (Aku ingin tahu apakah kelas kompleksitas ini memiliki nama.) $K(x,y)$

Maka mengetahui justru tampak seperti masalah yang sulit. Seperti yang ditunjukkan dalam komentar oleh a3_nm dan Kaveh, pertanyaannya setara dengan menentukan jumlah automata yang dan pergi ke keadaan yang sama. Saya akan menunjukkan probabilitas bahwa mereka pergi ke keadaan yang sama dengan . $K(x,y)$ $x$ $y$ $p$

Pembaruan: Beberapa hal yang saya tulis di sini tidak benar, sekarang saya memperbaikinya.

Sangat mudah untuk melihat bahwa . Kita memiliki persamaan, jika adalah semua 0 dan semua nol kecuali bit terakhirnya, yaitu 1. Apakah ada kasus lain? Saya tidak tahu Jika misalnya adalah string kosong dan , maka $p \ge 1/n$ $x$ $y$ $x$ $y=00$ . $p= \frac{n+1}{(n-1)n}$

Untuk menyederhanakan masalah, saya bahkan mulai berpikir tentang apa yang terjadi jika dan adalah unary. Jika keduanya setidaknya dan perbedaannya dapat dibagi oleh , lalu . Apakah ada formula sederhana untuk versi unary? $x$ $y$ $n$ $n!$ $p=1$

— domotorp
sumber

Saya telah mengklarifikasi masalahnya - sebuah algoritma

diinginkan (atau pengurangan dari beberapa masalah sulit yang diketahui). Perkiraan pengambilan sampel digunakan dalam makalah di mana kernel ini diperkenalkan: portal.acm.org/citation.cfm?id=1577108

p o l y (n, | x |, | y |)

$poly(n,|x|,|y|)$

— Aryeh

Sedangkan untuk versi unary: hanya ada banyak automata

state un- polinomially , jadi saya berani bertaruh bahwa ada algoritma poly-time untuk menghitung

untuk kasus ini.

n

$n$

K_{n} (x, y)

$K_n(x,y)$

— Aryeh

Memang, Anda benar bahwa versi unary dapat dihitung. Saya masih bertanya-tanya betapa sederhananya rumus untuk x dan y yang diberikan.

— domotorp

Pengurangan yang Anda gunakan adalah buggy: x dan y dapat diterima oleh automata yang sama dan berakhir di keadaan yang sama sekali berbeda, pada kenyataannya, mereka hanya dapat berbagi keadaan awal di jalur mereka, yang berlaku untuk semua string.

— amnn

@ amnn: Sudah tiga tahun sejak saya menulis ini, tetapi bukankah para ketiga jawaban saya menjelaskan mengapa saya hanya berurusan dengan berakhir di negara yang sama?

— domotorp

Saya mungkin sangat kehilangan intinya tetapi Anda menyatakan bahwa sudah diperbaiki, sehingga semua DFA dengan ukuran itu dapat dianggap sudah dikomputasi dan disimpan dalam format yang mudah disimulasikan. Hitung sebagai berikut: $n$ $K$

Pada input , mana $x$ $y$ $x,y\in\Sigma^*$

simpan dan $x$ $y$
inisialisasi penghitung ke $c$ $0$
untuk masing-masing Anda DFAs $n^{2n} 2^n$
Sebuah. simulasikan pada kedua kata (langkah ini adalah ) $\mathcal{O}(|xy|)$

b. kenaikan jika kedua simulasi berjalan menerima $c$
output $c$

Secara keseluruhan, perhitungan memiliki kompleksitas linier. Jawabannya sangat berbeda untuk . $K(n,x,y)$

— Kai
sumber

Jelas mencoba semua mesin akan berhasil. Aryeh ingin tahu apakah ada, mungkin, algoritma waktu polinomial atau hasil kekerasan.

— Lev Reyzin

Sebenarnya ini adalah waktu polinomial dalam input, jika n bukan bagian dari input, itulah yang dikatakan Kai. Tetapi pertanyaannya jelas berbeda.

— domotorp

n

$n$

Benar, terima kasih sudah menunjukkan celahnya, Kai. Sudah diperbaiki :)

— Aryeh