Apakah menghitung klik maksimal dalam grafik yang tidak dapat dibandingkan # P-complete?

Pertanyaan ini dimotivasi oleh pertanyaan MathOverflow oleh Peng Zhang . Valiant menunjukkan bahwa menghitung klik maksimal dalam grafik umum adalah # P-complete, tetapi bagaimana jika kita membatasi pada grafik yang tidak dapat dibandingkan (yaitu, kita ingin menghitung antichains maksimal dalam posite terbatas)? Pertanyaan ini tampaknya cukup alami sehingga saya curiga sudah dipertimbangkan sebelumnya, tetapi saya belum dapat menemukannya dalam literatur.

— Timothy Chow
sumber

Menurut abstrak ini untuk "Kompleksitas Menghitung Pemotongan dan Menghitung Kemungkinan bahwa suatu Grafik Terhubung" (SIAM J. Comput. 12 (1983), hlm. 777-788), penghitungan rantai anti dalam urutan parsial adalah # P-lengkap. Saya tidak memiliki akses ke makalah ini sehingga saya tidak tahu apakah hasil ini mencakup anti-rantai maksimal atau tidak.

— mhum
sumber

@ András: Saya pikir hasilnya adalah menghitung antichains (yang belum tentu maksimal). Mungkin mudah untuk melihat bahwa menghitung antiklin maksimal juga # P-complete, tapi saya tidak bisa melihatnya.

— Tsuyoshi Ito

@ András: Pertanyaannya adalah tentang antikristus maksimal, bukan antikartinalitas kardinalitas maksimum. Saya belum mempelajari pengurangan di kertas, jadi mungkin pengurangan mereka juga membuktikan # P-kelengkapan penghitungan antichains maksimal pada saat yang sama, tetapi setidaknya mereka adalah masalah yang berbeda.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Anda benar, kertas Provan / Ball hanya menunjukkan bahwa menghitung antikartinalitas kardinalitas maksimum adalah # P-hard. Kembali ke papan gambar ...

— András Salamon

Sebenarnya, jika Anda melihat buktinya, Anda akan melihat bahwa # P-kelengkapan terbukti untuk kelas poset di mana semua antena maksimal memiliki kardinalitas yang sama. Yaitu, mulai dengan grafik bipartit

dengan

simpul dan buat grafik bipartit

dengan

simpul dengan menambahkan

simpul baru

dan

tepi baru

G = (V, E)

$G=(V,E)$

n

$n$

G^{'}

$G'$

2 n

$2n$

n

$n$

{v^{'} : v \in V}

$\{v' : v\in V\}$

n

$n$

. Kemudian, jika

dan

adalah bipartisi dari himpunan titik dari

, menentukan poset pada

dengan menetapkan

jika

dan

yang berdekatan di

. Jadi ini menjawab pertanyaan saya.

{(v, v^{'}) : v \in V}

$\{(v,v'): v\in V\}$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

G^{'}

$G'$

V_{1} \cup V_{2}

$V_1\cup V_2$

x < y

$x<y$

x \in V_{1}

$x\in V_1$

y \in V_{2}

$y\in V_2$

x

$x$

y

$y$

G^{'}

$G'$

— Timothy Chow