Kompleksitas st-Konektivitas Unik

Saya ingin tahu apakah masalah berikut dapat dipecahkan dalam (nondeterministic logspace): $\mathsf{NL}$

Diberikan grafik terarah dengan dua simpul dibedakan dan , apakah ada jalur unik dari ke di ? $G$ $s$ $t$ $s$ $t$ $G$

Saya merasa bahwa itu kemungkinan ada di karena kita dapat memutuskan apakah ada - --path dan jika tidak ada jalan seperti itu. Namun, menghitung jumlah jalur tersebut adalah -hard (Valiant, 1979). $\mathsf{NL}$ $s$ $t$ $\mathsf{\sharp P}$

Jadi pertanyaan saya: Apakah Anda punya referensi tentang ini? Apakah sudah jelas bahwa itu ada di ? Atau itu tidak ada di ? $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NL}$

reference-request graph-theory

— Bruno
sumber

Apakah maksud Anda jalur sederhana? Tidak jelas itu sama dalam konteks ini.

— Lance Fortnow

Poin bagus, maksud saya memang jalur sederhana.

— Bruno

Tampaknya masalah Anda ada di . Berikut ini adalah algoritma. $NL$

Pertama, secara nondeterministis menebak jalur dari ke . Jika Anda salah menebak, tolak . Sebut algoritma ini . $s$ $t$ $A$

Pertimbangkan algoritma nondeterministic berikut , yang menentukan apakah setidaknya ada dua jalur. Diberikan grafik dan , untuk semua pasangan tepi yang berbeda , tebak jalur dari ke yang mencakup tetapi bukan , lalu tebak jalur dari ke yang mencakup tetapi tidak . Jika tebakannya benar, terima . Jika tidak ada penerimaan untuk semua pilihan dan , tolak . Catatan dapat diterapkan di ruang log nondeterministic. $B$ $s,t$ $e,f$ $s$ $t$ $e$ $f$ $s$ $t$ $f$ $e$ $e$ $f$ $B$

Sekarang, himpunan adalah himpunan grafik - dengan setidaknya dua jalur dari ke . Karena , komplemen juga dalam , yaitu, kita dapat menentukan apakah dan memiliki kurang dari dua jalur, dalam ruang log nondeterministic. $L(B)$ $s$ $t$ $s$ $t$ $NL = coNL$ $B$ $NL$ $s$ $t$

Algoritma terakhir adalah: "Jalankan Jika menerima, maka jalankan pelengkap dan output jawabannya." $A$ $A$ $B$

Saya tidak tahu referensi.

PEMBARUAN: Jika Anda benar-benar menginginkan referensi, lihat paragraf pertama Bagian 3 dari makalah ini . Tapi ini mungkin hanya satu dari banyak referensi yang mengutip konsekuensi ini. Akan lebih masuk akal untuk menyebut hasilnya "cerita rakyat" daripada mengutip makalah yang menyebutkannya.

UPDATE 2: Anggaplah Anda ingin menentukan apakah ada jalur sederhana yang unik. Dalam hal ini, algoritma tidak harus berubah: jika ada jalur sama sekali maka ada jalur sederhana. Saya percaya modifikasi berikut akan bekerja untuk algoritma . $A$ $B$

Kami ingin menulis ulang algoritme sehingga menerima jika ada setidaknya dua jalur sederhana. $B$

Pertama-tama pertimbangkan algoritma waktu polinomial berikut untuk masalahnya. Temukan jalur terpendek dari ke . Untuk setiap tepi dalam , periksa apakah ada jalur - yang tidak melalui . Jika Anda menemukan jalan seperti itu maka terima . Jika Anda tidak pernah menemukan jalan lain, tolak . Karena paling pendek, ia tidak memiliki siklus, dan jika ada jalur lain yang tidak menggunakan tepi , maka ada jalur lain yang sederhana dan tidak menggunakan tepi $P$ $s$ $t$ $e$ $P$ $s$ $t$ $e$ $P$ $P$ $P$ . (Algoritma ini digunakan untuk masalah "jalur terpendek kedua").

Kami akan mengimplementasikan algoritma ini dalam . Jika kami memiliki algoritme untuk menanyakan tepi dalam jalur tetap , kami dapat mengimplementasikan hal tersebut di dalam nondeterministic logspace: iterasi melalui semua tepi dalam , tebak - path dan periksa bahwa untuk setiap tepi yang dikunjungi sepanjang jalan , tidak satupun dari mereka yang sama dengan . $NL$ $NL$ $e$ $P$ $e$ $P$ $s$ $t$ $e$

Jadi yang kita butuhkan adalah "jalur oracle", sebuah algoritma dengan properti: diberikan , dalam setiap jalur perhitungan algoritma baik melaporkan tepi ke- pada jalur - tetap tertentu , atau menolak . Kita bisa mendapatkan jalur oracle dengan menggunakan untuk mengisolasi jalur leksikografis pertama. $NL$ $i=1,\ldots,n$ $i$ $s$ $t$ $NL=coNL$

Berikut ini adalah sketsa jalur oracle.

Temukan , panjang jalur terpendek dari ke , dengan mencoba semua dan menggunakan . $k$ $s$ $t$ $k=1,\ldots,n$ $NL=coNL$

Setel variabel , , . $u:=s$ $x:=1$ $j:=k$

Untuk semua tetangga dari agar leksikografis, $v$ $u$

Tentukan apakah ada jalur dari ke dengan panjang (menggunakan hasil ). Lebih tepatnya, jalankan algoritma nondeterministic untuk konektivitas - (dengan panjang ) dan algoritma untuk komplemennya, secara bersamaan. Ketika salah satu dari mereka menerima, lanjutkan dengan jawabannya (itu pasti benar; keduanya tidak dapat menerima). Jika keduanya menolak maka tolak . $v$ $t$ $j-1$ $NL=coNL$ $s$ $t$ $j-1$

Jika tidak ada jalan, lanjutkan ke tetangga berikutnya. Jika Anda sudah kehabisan semua tetangga maka tolak .

Jika ada jalur, maka jika , output sebagai tepi ke- di jalur dari ke . Jika tidak, tambahkan , turunkan , atur , dan mulai for-loop lagi jika . $x=i$ $(u,v)$ $i$ $s$ $t$ $x$ $j$ $u := v$ $v \neq t$

Jika setelah mencapai output bad (yang diberikan terlalu besar). $x < i$ $t$ $i$ $i$

Diberikan , algoritma ini menghasilkan tepi ke- pada jalur pendek tersingkat secara leksikografis dari ke , atau menolak. $i$ $i$ $P$ $s$ $t$

— Ryan Williams
sumber

Saya pikir sesuatu yang serupa tetapi menggunakan ruang linear. Terima kasih atas jawaban anda!

— Bruno

Saya setuju itu benar-benar cerita rakyat. Ini adalah konsekuensi langsung dari runtuhnya hierarki . Juga, masalah penghitungan tidak lengkap. Itu di #L, yang pada gilirannya di

N L

$NL$

N C^{2}

$NC^2$

— V Vinay

Ya, seperti yang saya nyatakan di atas, algoritma tidak membedakan antara jalur sederhana dan jalur dengan siklus.

— Ryan Williams

@V Vinay: Dalam makalah ini , penulis merujuk pada makalah Valiant . Kompleksitas masalah enumerasi dan reliabilitas sebagai pembuktian masalah. Saya baru saja memeriksa koran Valiant , dan ini adalah masalah 14 (hal414). Apakah saya salah mengerti sesuatu? Mungkin Anda berbicara tentang jalur yang tidak sederhana, dan kompleksitasnya berubah secara dramatis dalam kasus ini? Terima kasih!

♯ P

$\sharp\mathsf P$

— Bruno

Btw, komentar oleh Allender & Lange cukup untuk langsung menyimpulkan.

— Bruno