Burung mabuk vs semut mabuk: berjalan acak antara dua dan tiga dimensi

Diketahui bahwa jalan acak dalam kisi dua dimensi akan kembali ke asal dengan probabilitas 1. Juga diketahui bahwa jalan acak yang sama dalam TIGA dimensi memiliki probabilitas kurang dari 1 untuk kembali ke asal .

Pertanyaanku adalah:

Apakah ada sesuatu di antara keduanya? Sebagai contoh, misalkan ruang saya sebenarnya adalah wilayah terbatas dari pesawat yang diekstrusi hingga tak terhingga dalam arah z. (Apa yang sering disebut 2.5 dimensi). Apakah hasil dua dimensi berlaku, atau tiga dimensi?

Ini muncul dalam diskusi, dan satu argumen heuristik mengatakan bahwa ia berperilaku dua dimensi adalah karena wilayah terbatas pesawat pada akhirnya akan dibahas, satu-satunya bagian nontrivial dari jalan adalah sinar 1 dimensi di sepanjang arah z, dan karenanya kembali ke asal akan terjadi.

Apakah ada bentuk lain yang menyisipkan antara dua-D dan tiga-D kasus?

Pembaruan (ditarik dari komentar): pertanyaan terkait ditanyakan pada MO - ringkasan singkat adalah bahwa jika jalan itu genap (2 + ϵ) dimensi, maka pengembalian yang tidak pasti mengikuti secara longgar dari seri yang berbeda. Namun, pertanyaan di atas IMO sedikit berbeda karena saya bertanya tentang bentuk lain yang mungkin mengakui pengembalian tertentu.

pr.probability random-walks markov-chains

— Suresh Venkat
sumber

Tidak tahu banyak tentang topik tetapi perkolasi muncul di pikiran saya! Bagaimana dengan random walk on perkolasi? Tampaknya menjadi kandidat untuk hasil dimensi fraksional untuk

n > 1

$n > 1$

— vs

dalam arti apa yang Anda maksud di antara keduanya? Tampaknya tidak banyak di antara 1 dan di bawah 1; jadi apakah Anda ingin di antara antara sehubungan dengan dimensi ruang? Dengan kata lain, apakah ada jawaban yang harus berjalan pada sesuatu dengan ukuran dimensi alami?

— Artem Kaznatcheev

Catatan: pertanyaan terkait ditanyakan di MO: mathoverflow.net/questions/45098/… - ringkasan singkatnya adalah bahwa jika jalan tersebut berukuran genap

, maka pengembalian yang tidak pasti mengikuti secara longgar dari serangkaian penyimpangan. Namun, pertanyaan di atas sedikit berbeda karena saya bertanya tentang bentuk-bentuk lain yang mungkin mengakui pengembalian tertentu.

(2 + ϵ)

$(2+\epsilon)$

— Suresh Venkat

Jalan Acak di Kurva Fraktal .

— Aaron Sterling

Untuk wilayah yang dibatasi pesawat yang diekstrusi hingga tak terbatas di sepanjang

sumbu, kita pada dasarnya berurusan dengan garis yang menebal daripada bidang yang digemukkan; dengan demikian, saya berharap perilaku lebih dekat ke kasus satu dimensi daripada kasus dua dimensi.

z

$z$

— James King

Jawaban:

Probabilitas Pohon dan Jaringan oleh Peres dan Lyons menyebutkan hal ini di Bab 2 (halaman 50):

Salah satu cara untuk memahami hal ini adalah dengan bertanya tentang jenis ruang antara antara dan . Misalnya, pertimbangkan irisan $\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{Z}^3$

$W_{f} : = {(x, y, z) : | z | \leq f (| x |)}$ $W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$
$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$ $n(f(n)+1)$

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n (f (n) + 1)} = \infty$ $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$
cukup untuk pengulangan.

— Marcin Kotowski
sumber

ini adalah referensi yang sangat baik, dan memiliki teknik umum untuk menentukan kapan jalan tersebut menyimpang. Bagus!

— Suresh Venkat

Jalan acak 3-D dalam ruang 3x3x3 (seperti kubus rubik) memiliki kemungkinan kurang dari satu untuk kembali ke asal, jika jalan dimulai dari luar; tetapi ruang 2x2x2 adalah satu, seperti ruang 3x3x3 dengan asal di pusat. Jadi sepertinya ada beberapa bentuk peralihan, tetapi mungkin tidak terlalu banyak.

— xpda
sumber

Tapi toroid adalah 2 dimensi. Saya tidak merasa terkejut bahwa itu akan kembali ke titik awal. Sepertinya kasus khusus 2D.

— John Moeller

Dan dibatasi! Seharusnya lebih mudah untuk kembali ke asal daripada di pesawat.

— Derrick Stolee

Ups, Anda benar. Saya akan mengeditnya ke bentuk lain.

— xpda