Preprocessing optimal untuk jenis pertanyaan tertentu

Misalkan kita memiliki semigroup dengan elemen S = { s 1 , s 2 , ... , s n } . Tujuan kami adalah menghitung produk s i ∘ s i + 1 ∘ ⋯ ∘ s j .$(S,\circ)$$S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

Dalam makalah mereka "Pemrosesan yang Optimal untuk menjawab pertanyaan produk on-line" Alon dan Schieber membuktikan bahwa kita dapat menjawab setiap permintaan seperti itu di paling banyak langkah (di mana α adalah fungsi Ackermann terbalik) dengan hanya menggunakan jumlah linier preprocessing.$O(\alpha(n))$$\alpha$

Jika diinginkan bahwa setiap kueri dapat dijawab dalam langkah O ( log ( j - i ) ) , dapatkah seseorang masih melakukan ini dengan hanya preprocessing linier?$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$$O(\log(j-i))$

(Pertanyaan ini terinspirasi oleh ini pertanyaan terbaru oleh Brendan McKay di Mathoverflow.)

Bangun pohon biner seimbang teratur dengan di daun (dalam urutan). Di setiap simpul internal v simpan produk daun subtree yang berakar pada v . Preprocessing ini jelas berjalan dalam O ( n ) waktu dan ruang.$s_1,\dots,s_n$$v$$v$$(n)$

Sekarang, untuk menghitung suatu produk (di mana i < j ) berjalan di atas pohon dari i ke leluhur yang paling tidak umum (LCA) dari i dan j . Kumpulkan produk yang disimpan di setiap anak kanan yang menggantung di jalan, tidak termasuk anak kanan LCA. Dengan kata lain, saat Anda naik dari Anda ke induknya v , jika Anda adalah anak kiri dari v , kemudian mengambil produk yang disimpan di anak kanan v . Demikian pula, berjalan dari $s_i\circ\ldots\circ s_j$$i<j$$i$$i$$j$$u$$v$$u$$v$$v$$j$ke LCA dan mengumpulkan produk yang disimpan pada anak-anak kiri yang tergantung di jalur itu. Lipat gandakan semua produk ini, bersama dengan dan s j secara berurutan.$s_i$$s_j$