Kepadatan bahasa P-lengkap

Misalkan adalah bahasa Boolean, dengan string hingga . Biarkan menjadi jumlah string dalam dengan panjang . Untuk fungsi dari bilangan bulat positif ke bilangan real positif, memiliki kepadatan atas jika untuk semua cukup besar . $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

Apakah ada bahasa Boolean P-lengkap yang memiliki kepadatan atas ? $O(1/n)$

Motivasi

PARITY memiliki kepadatan atas . YA (bahasa semua string biner terbatas) memiliki densitas atas 1. Bahasa berhingga apa pun memiliki densitas atas 0. $1/2$
Bahasa jarang memiliki properti yang ada polinomial sehingga untuk semua . Jika adalah bahasa yang jarang, maka untuk polinomial derajat satu lebih besar dari , sehingga kepadatan atas adalah nol. $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
Jin-Yi Cai dan D. Sivakumar menunjukkan bahwa bahasa lengkap-P tidak bisa jarang kecuali P = L (= LOGSPACE). Karena P = co-P, bahasa apa pun yang komplemennya jarang juga tidak bisa menjadi P-lengkap, kecuali P = L.
Dengan ketidaksetaraan sederhana (lihat mis. 2 dari Rosser dan Schoenfeld 1962 ), PRIMES memiliki kepadatan atas . Pertanyaan Apakah masalah PRIMES, FAKTOR yang dikenal sebagai P-hard? membahas apakah PRIMES P-hard (ini tampaknya terbuka saat ini). $(\log_2 e)/n$
Dalam beberapa hal, bahasa lengkap (atau universal) untuk kelas kompleksitas berisi semua struktur kelas. Jadi hipotesis tentatif saya, berdasarkan ekstrapolasi liar hasil Cai dan Sivakumar, adalah bahwa bahasa-bahasa seperti itu tidak boleh terlalu jarang. Batas polinomial yang biasa mendefinisikan bahasa jarang tampaknya terlalu ketat, jadi saya bertanya tentang batas yang sedikit kurang membatasi.

Pekerjaan pada rendahnya oleh Fortnow, Hemaspaandra, dan lain-lain juga mungkin terkait.

Pertanyaannya dapat ditanyakan pada kelas selain P, tetapi saya tidak dapat mengingat hasil apa pun yang memungkinkan pembentukan kepadatan, katakanlah, -SAT. Pointer ke literatur yang relevan akan sangat disambut. $k$

Ucapan Terima Kasih

Lihat juga pertanyaan terkait Kepadatan bersyarat dari bilangan prima . Terima kasih kepada @Tsuyoshi Ito dan @Kaveh untuk komentar yang bermanfaat pada versi sebelumnya dari pertanyaan ini, yang sayangnya tidak benar.

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— András Salamon
sumber

Saya pikir

(atau fraksi polinomial lain) memiliki terlalu banyak string, pertanyaan yang lebih baik adalah bertanya tentang atas dan bawah.

2^{n} / n

$2^n/n$

— Kaveh

Saya tidak tahu apa kerapatan masalah P-complete umum, tapi di sini ada argumen padding yang menunjukkan cara menurunkan kerapatan di bawah : $1/n$

Ambil bahasa -P favorit Anda . Bahasa ini memiliki kepadatan beberapa . Sekarang tentukan . Secara umum, akan menjadi beberapa fungsi , jadi ini mungkin tidak mendefinisikan $L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ untuk semua ukuran, karena kita hanya khawatir tentang kepadatan bagian atas, buat saja jika . Berapa kepadatan atas ? Ya sudah $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| {L.}_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| {L.}_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

Sekarang mari kita gunakan pengurangan LOG untuk membangun mesin untuk menggunakan mesin untuk . Nah, jika Anda diberi input maka cukup salin satu per satu ke pita kueri (juga gunakan penghitung untuk menghitung apa ), lalu gunakan penghitung kedua untuk menghitung hingga , tambahkan satu setiap kali Anda menambahkan nol untuk pita query (untuk memiliki ruang log, kita perlu dan dengan mudah dihitung). Kemudian permintaan dan kembalikan output sebagai jawaban Anda. $M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

Jika kita ingin memastikan kita lebih kecil dari maka pilih saja , dan kemudian kita akan memiliki . $1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— Artem Kaznatcheev
sumber

Terima kasih, ini menjawab pertanyaannya. Argumen ini tampaknya bergantung pada

yang berhubungan secara polinomi dengan

- apakah kepadatan atas

dapat dicapai?

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

— András Salamon

Saya kira begitu, Anda hanya perlu m = log log n. Secara umum untuk m = f (n) Anda dapat memilih f yang ada di ruang LOG (dengan n di unary). (atau NC jika Anda lebih suka pengurangan itu).

— Artem Kaznatcheev