Di mana dan bagaimana komputer membantu membuktikan teorema?


55

Tujuan dari pertanyaan ini adalah untuk mengumpulkan contoh-contoh dari ilmu komputer teoretis di mana penggunaan komputer secara sistematis sangat membantu

  1. dalam membangun dugaan yang mengarah pada teorema,
  2. memalsukan pendekatan dugaan atau bukti,
  3. membangun / memverifikasi (bagian dari) bukti.

Jika Anda memiliki contoh spesifik, tolong jelaskan bagaimana itu dilakukan. Mungkin ini akan membantu orang lain menggunakan komputer secara lebih efektif dalam penelitian sehari-hari mereka (yang tampaknya masih menjadi praktik yang tidak biasa di TCS sampai hari ini).

(Ditandai sebagai komunitas wiki, karena tidak ada jawaban "benar" tunggal.)


Saya harus mengatakan saya sangat tertarik pada contoh (1) dan (2). Yaitu, kasus-kasus di mana komputer membantu membentuk intuisi manusia dengan cara-cara penting.
Moritz

2
Beberapa jawaban terbaru untuk pertanyaan ini, di akhir daftar, sangat bagus dan layak dibaca. Saya sarankan membaca sampai akhir!
András Salamon

Jawaban:



20

Perbaiki poin di pesawat. Biarkan T menjadi triangulasi (yaitu grafik garis lurus planar dengan titik-titik sebagai simpul yang sepenuhnya triangulasi), dan biarkan bobot triangulasi menjadi jumlah dari panjang sisi.n

Menunjukkan bahwa masalah triangulasi berat minimum (MWT) adalah NP-hard adalah masalah yang sudah lama berdiri, dipersulit oleh kenyataan bahwa panjang tepi melibatkan akar kuadrat, dan presisi yang diinginkan yang dibutuhkan untuk menghitungnya secara akurat sulit untuk diikat.

Mulzer dan Rote menunjukkan bahwa MWT adalah NP-hard , dan dalam prosesnya menggunakan bantuan komputer untuk memverifikasi kebenaran gadget mereka. Sejauh yang saya tahu, tidak ada bukti alternatif.


20

Bukti Thomas Hales (situsnya, MathSciNet ) dari dugaan Kepler melibatkan begitu banyak analisis kasus - dan kasus-kasus itu pada gilirannya diverifikasi oleh komputer - sehingga ia memutuskan untuk mencoba bukti formal dari itu. Proyeknya untuk melakukannya adalah FlysPecK , dan dia memperkirakan itu akan memakan waktu 20 tahun kerja.

Peneliti dalam Bahasa Pemrograman secara teratur menggunakan bukti yang dibantu komputer dalam pekerjaan mereka, meskipun saya tidak tahu betapa pentingnya hal ini dalam hal proses penelitian mereka (tentu saja membuat mereka tidak harus menulis banyak manipulasi yang membosankan, meskipun).



20

Komputer juga telah digunakan untuk menentukan batas atas pada waktu berjalannya program backtracking memecahkan masalah NP-hard, dan membangun gadget untuk membuktikan hasil yang tidak dapat diperkirakan. Topik ini dan topik-topik menyenangkan lainnya menanti Anda dalam esai singkat (peringatan, promosi diri ekstrem di depan) berjudul "Menerapkan Praktek Ke Teori." Lihat http://arxiv.org/abs/0811.1305

Dengan daftar yang bagus ini, sepertinya saya harus memperbarui makalah!


Ya, saya juga menyukainya.
Daniel Apon

18

Contoh tandingan terhadap dugaan Hirsch , penting untuk pemrograman linier dan kombinatorik polihedral, diusulkan oleh Francisco Santos baru-baru ini. Verifikasi komputer digunakan pertama kali untuk menetapkan beberapa properti yang diperlukan dari contoh, meskipun argumen tanpa bantuan kekuatan komputasi ditemukan setelahnya, lih. Posting blog Gil Kalai atau tulisan di arxiv .


15

Belum pernah melihat ini disebutkan di sini, tetapi teorema teorema otomatis memecahkan masalah terbuka lama apakah Robbins algebas adalah boolean:

http://www.cs.unm.edu/~mccune/papers/robbins/

Ini terutama penting karena komputer mengembangkan seluruh bukti dan masalahnya telah terbuka selama beberapa dekade.

Tidak sepenuhnya yakin apakah itu memenuhi syarat sebagai TCS, tetapi bisa dibilang itu terkait erat.


1
Jawaban yang menyebutkan ini diposting pada pertengahan Agustus, tetapi jawaban itu dihapus oleh pemiliknya pada akhir September. Ini adalah contoh yang bagus.
András Salamon

14

The algoritma Karloff-Zwick untuk MAX-3SAT diperbaiki sehingga diharapkan kinerja 7/8. Namun analisis ini bergantung pada ketidaksetaraan volume bola yang tidak terbukti. Ketidaksetaraan ini akhirnya dikonfirmasi melalui bukti yang dibantu komputer dalam makalah Zwick yang lain .

Selain bukti Hales terhadap dugaan Kepler sebagaimana disebutkan di atas, bukti dugaan Honeycomb dan bukti dugaan Dodecahedral juga dibantu oleh komputer.


1
Sementara kita berada di jalur ini, Weaire dan Phelan tentang dugaan Kelvin juga dibantu oleh komputer. ( en.wikipedia.org/wiki/Weaire%E2%80%93Phelan_structure )
Peter Shor

11

Anda dapat memeriksa Shalosh B. ekhad ini homepage . Komputer ini telah menerbitkan makalah untuk sementara waktu (biasanya dengan penulis bersama).


11

Christian Urban menggunakan asisten bukti Isabelle untuk memeriksa salah satu teorema utama dalam tesis PhD-nya sebenarnya adalah teorema [1]. Menggunakan asisten, beberapa perubahan perlu dilakukan, tetapi hasilnya cukup banyak berdiri.

Demikian pula, Urban dan Narboux juga menemukan kesalahan dalam bukti pena dan kertas bukti kelengkapan Crary untuk pemeriksaan kesetaraan.

Meikle dan Fleuriot memformalkan Grundlagen Hilbert di Isabelle dan menunjukkan bahwa, bertentangan dengan klaim Hilbert, ia masih mengandalkan intutisinya untuk memformalkan geometri secara aksiomatis (IIRC ada lubang dalam buktinya yang berasal dari Hilbert dengan asumsi hal-hal tentang diagram) [3] .

[1]: Meninjau Kembali Cut-Elimination: Satu Bukti Sulit Benar-Benar Bukti

[2]: Formalisasi dalam Bukti Kelengkapan Nominal Isabelle Crary untuk Memeriksa Kesetaraan

[3]: Memformalkan Grundlagen Hilbert di Isabelle / Isar


10

Hasil dalam " Geometri Pohon Pencarian Biner " oleh Demaine, Harmon, Iacono, Kane, dan Patraşcu dikembangkan dengan bantuan perangkat lunak untuk menguji berbagai skema pengisian daya dan membangun penilaian optimal untuk urutan akses kecil. (Dan ya, "menilai" adalah istilah yang benar.)


1
Dengan "menilai", saya menganggap Anda bermaksud "Set Puas Secara Arborally"? Mungkin saya telah memberikan kesenangan dari akronim itu. :)
Andrew W.

10

N. Shankar memverifikasi (sepenuhnya dan secara mekanis) bukti Godel tentang teorema ketidaklengkapan dan Gereja - teorema Rosser menggunakan pepatah teorema Boyer - Moore. Ada sebuah buku yang menjelaskan bagaimana hal itu dilakukan.



6

Ada banyak contoh dalam analisis algoritma kasus rata-rata. Mungkin beberapa yang paling awal adalah eksperimen komputer yang mengarah ke kertas "Beberapa hasil perilaku yang tidak terduga diharapkan untuk pengemasan bin" oleh Bentley, Johnson, Leighton, McGeoch dan McGeoch dalam STOC 1984.

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.