Pengkodean cepat vektor seimbang

Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk setiap ada pemetaan 1-1 dari {0,1} ke {0,1} sedemikian rupa sehingga untuk setiap vektor adalah "seimbang", yaitu memiliki jumlah 1s dan 0s yang sama. Apakah mungkin untuk mendefinisikan sehingga diberikan $n$ $F$ $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ kita dapat menghitung $F(x)$ efisien?

Terima kasih.

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— Piotr
sumber

Saya berasumsi bahwa dengan 'efisien' maksud Anda O (n) atau sekitar itu, mengesampingkan argumen "percobaan acak berulang"?

— Suresh Venkat

@ Suresh, Apakah Anda dapat membuat sketsa argumen "percobaan acak berulang"?

— Emil

salah satu cara untuk membuktikan bahwa pemetaan itu ada adalah dengan metode probabilistik: pilih F secara acak, dan kemudian pemetaan bekerja dengan beberapa kemungkinan. itu yang saya maksud.

— Suresh Venkat

Pertanyaannya didefinisikan dengan sangat baik tetapi, menurut saya, judulnya menyesatkan. Saya tidak akan menyebut pemetaan F yang memenuhi kondisi yang dinyatakan sebagai "pengodean vektor seimbang" kecuali F bersifat objektif. Ini lebih seperti pengkodean string n-bit dengan vektor seimbang.

— Tsuyoshi Ito

"Didefinisikan dengan sempurna" hingga interpretasi yang mungkin berbeda dari "efisien," maksud saya. Tapi ini bukan poin dari komentar saya sebelumnya.

— Tsuyoshi Ito

Jawaban:

Mari kita pertimbangkan bit string . Definisi: $n$ $x$

= bit string denganbit terakhir yangdilengkapi. $f(x,i)$ $x$ $i$
= "ketidakseimbangan" : jumlah 1d di jumlah 0d di . $b(x)$ $x$ $x$ $-$ $x$

Sekarang perbaiki sebuah string . Pertimbangkan fungsi . Pengamatan: $x$ $g(i) = b(f(x,i))$

. $g(0) = b(x)$
. $g(n) = -g(0)$
untuk semua . Kami menghapus satu 0 dan menambahkan satu 1 atau sebaliknya. $|g(i) - g(i+1)| = 2$ $i$

Sekarang berarti ada sedemikian rupa sehingga . $i$ $-1 \le g(i) \le +1$

Karenanya kita dapat membangun string -bit sebagai berikut: concatenate dan pengkodean biner dari indeks . Nilai absolut dari ketidakseimbangan adalah . Selain itu, kita dapat memulihkan mengingat ; pemetaan itu adalah penipisan. $(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

Akhirnya, Anda bisa menambahkan bit tiruan yang mengurangi ketidakseimbangan dari menjadi . $O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— Jukka Suomela
sumber

b (x) pada baris ke-3 harus b (y).

— Emil

Saya pikir Anda perlu menambahkan bit lain ke string x untuk memastikan panjangnya genap (sehingga Anda dapat yakin bahwa g (i) bernilai nol untuk sebagian i).

— Emil

@ Emil: Saya tidak mengklaim bahwa

bernilai nol untuk sebagian

; cukup bahwa nilai absolut dari

adalah "cukup kecil" untuk sebagian

(paling banyak logaritmik akan cukup, tetapi mudah untuk menunjukkan bahwa itu akan menjadi paling banyak

untuk beberapa

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

— Jukka Suomela

@Jukka: Ah ya saya mengerti.

— Emil

Tapi ya, Anda benar, ada banyak varian dari pendekatan dasar yang sama. Misalnya, seperti yang Anda sarankan, Anda dapat terlebih dahulu menggunakan bit padding untuk memastikan bahwa

akan sama dengan nol untuk beberapa

; maka Anda dapat menyandikan

dengan menggunakan pasangan bit

atau

, yaitu

bit ekstra; maka hasil dari rangkaian ini benar-benar seimbang dan Anda tidak perlu menambahkan yang lain.

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

— Jukka Suomela

Gunakan pemetaan yang mempertahankan urutan leksikografis. Untuk menemukan -th length- vektor seimbang dengan 's, lakukan secara rekursif: jika $k$ $n$ $n/2$ , kemudian atur bit pertama 0 dan kemudian temukanvektor-th length-dengan1 untuk melengkapibittersisa. Kalau tidak, atur bit pertama 1 dan temukan $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ -th length-vektor dengan1's. $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— Zeyu
sumber

Dan jika Anda menggunakan kembali nilai koefisien binomial untuk menghitung koefisien binomial yang diperlukan berikutnya, keseluruhan algoritma berjalan dalam waktu O (n).

— Tsuyoshi Ito

Terima kasih! Ini masuk akal. Saya kira waktu berjalan akan tergantung pada model komputasi. Jika Anda dapat melakukan operasi pada nomor n-bit dalam satuan waktu, implementasi oleh Tsuyoshi Ito akan berjalan dalam waktu O (n). Di sisi lain, jika Anda menghitung operasi bit, waktunya akan menjadi O (n ^ 2), saya pikir.

— Piotr