Tingkat minimum "grafik pohon"

Diberikan grafik , tentukan grafik pohon sebagai grafik yang simpulnya adalah pohon spanning , dan ada tepi antara dua pohon jika satu dapat diperoleh dari yang lain dengan mengganti satu tepi. Yaitu ada tepi jika ada dua sisi sedemikian sehingga . $G$ $T(G)$ $G$ $(T_1, T_2)$ $x, y \in G$ $T_1 - x = T_2 - y$

Pertanyaan saya adalah ini: adakah batas bawah atau atas non-trivial pada derajat vertex dengan derajat minimum dalam ? $T(G)$

Catatan: Saya mengedit pertanyaan (baris terakhir) sedikit untuk membuatnya kurang ambigu.

graph-theory tree

— corwin
sumber

Definisi Anda tentang keunggulan tidak masuk akal. Apakah maksud Anda "ada tepi antara

dan

jika ada dua sisi

sedemikian sehingga

T_{1}

$T_1$

T_{2}

$T_2$

x, y \in G

$x, y \in G$

T_{1} - x + y = T_{2}

$T_1 - x + y = T_2$

— Tyson Williams

Ya, maaf saya maksudkan tepi.

— corwin

Jika

adalah pohon, grafik pohonnya

adalah simpul tunggal dengan derajat 0. Di sisi lain, jika

adalah grafik lengkap, setiap simpul di

memiliki derajat

. Apa sebenarnya yang Anda maksud dengan "non-sepele"?

G

$G$

T (G)

$T(G)$

G

$G$

T (G)

$T(G)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Jeffε

G

$G$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

S

$S$

T

$T$

| S | \cdot | T |

$|S|\cdot|T|$

Θ (n^{3})

$\Theta(n^3)$

$G$ $n$ $m$ $T$ $G$ $m-n+1$ $T$ $T$ $G$ $2(m-n+1)$ $T$ $2(m-n+1)$

$G$ $v$ $T$ $v$ $T$ $T$ $T$ $2(m-n+1)$

$G$ $g$ $T$ $g$ $(g-1)(m-n+1)$

Namun, menemukan tingkat minimum grafik pohon untuk grafik yang diberikan secara sewenang-wenang (ekuivalen, menemukan pohon rentang yang meminimalkan jumlah panjang siklus yang disebabkan oleh tepi non-pohon) adalah lengkap-NP: lihat Deo, Prabhu, dan Krishnamoorthy, "Algoritma untuk Menghasilkan Siklus Fundamental dalam Grafik", ACM TOMS 1982 . Jadi menemukan batasan seperti ini yang ketat untuk semua grafik tampaknya tidak mungkin.

— David Eppstein
sumber

Terima kasih atas jawabannya. Bisakah kita menemukan batas atas ketat yang benar untuk semua grafik?

— corwin

n

$n$

m

$m$