Tur santai di sekitar bukti

Hari ini Ryan Williams memposting artikel di arXiv (sebelumnya muncul di SIGACT News) berisi versi yang kurang teknis dari teknik batas bawah ACC baru-baru ini.

Pertanyaan saya bukan tentang teknik itu sendiri (tentu saja layak pujian yang sangat besar), tetapi tentang gaya kertas. Dalam abstrak, ia menulis:

Buktinya akan dijelaskan dari sudut pandang seseorang yang berusaha menemukannya.

Luar biasa! Di bagian Background ia menambahkan:

Artikel ini adalah diskusi tentang bagaimana menemukan buktinya - tur santai di sekitarnya. Tidak semua detail akan diberikan, tetapi Anda akan melihat dari mana semua potongan itu berasal, dan bagaimana mereka cocok bersama. Jalan akan dipenuhi dengan intuisi bias saya sendiri tentang teori kompleksitas - apa yang saya pikir harus dan tidak boleh benar, dan mengapa. Sebagian besar intuisi ini mungkin salah; namun saya dapat mengatakan itu telah membawa saya ke arah yang produktif pada setidaknya satu kesempatan.

Ini luar biasa dan ini pertama kalinya saya melihatnya. Saya selalu bertanya-tanya mengapa penulis makalah tidak menulis bagaimana mereka sampai pada buktinya, termasuk pendekatan gagal yang mereka coba sebelum sampai ke jalur yang memimpin solusi. Ketika saya melihat kertas Ryan di arXiv, saya merasa sangat termotivasi untuk membacanya. Saya menganggapnya sebagai makalah revolusioner dari sudut pandang ini. Sebagian besar waktu satu-satunya hal yang dapat Anda lakukan dengan kertas adalah memverifikasi kebenarannya.

Pertanyaannya adalah sebagai berikut:

• apakah Anda mengetahui makalah lain di TCS di mana hasil terobosan disajikan dalam "tur biasa" daripada serangkaian lemmas teknis?

Saya berbicara tentang publikasi dalam jurnal, bukan posting blog atau laporan teknis.

Juga, saya menandainya sebagai daftar besar , dengan harapan itu akan benar-benar terjadi.

Ada sebuah makalah (2001) dari gaya yang sama oleh Lov Grover, yang menjelaskan cara untuk algoritma pencarian kuantum terobosannya (1996).

Tim Gower adalah penggemar hal semacam ini. Lihat secara khusus paparannya tentang metode perkiraan Razborov .

Dalam pengantarnya, Gowers merujuk artikel ekspositori saya tentang pemaksaan , yang merupakan upaya (tidak sepenuhnya berhasil) untuk melakukan hal yang sama dengan pemaksaan. Memaksa biasanya dianggap sebagai teknik dalam logika dan teori set, tetapi kadang-kadang menemukan jalannya ke TCS. Muncul dalam studi aritmatika terbatas dan kompleksitas bukti proposisional (Krajíček dan Takeuti adalah dua peneliti yang telah mengejar koneksi ini), dan konsep oracle generik terkait dengan konsep filter generik.

(Ini dimulai sebagai komentar dan terlalu jauh).

Anda dapat menikmati artikel William Thurston tentang Bukti dan Kemajuan dalam Matematika .

Matematika dalam beberapa hal memiliki bahasa yang sama: bahasa simbol, definisi teknis, perhitungan, dan logika. Bahasa ini secara efisien menyampaikan beberapa, tetapi tidak semua, cara berpikir matematis. Matematikawan belajar menerjemahkan hal-hal tertentu hampir secara tidak sadar dari satu mode mental ke mode mental lainnya, sehingga beberapa pernyataan dengan cepat menjadi jelas. [...]

Orang-orang yang akrab dengan cara melakukan sesuatu di subbidang mengenali berbagai pola pernyataan atau formula sebagai idiom atau sunat untuk konsep atau gambaran mental tertentu. Tetapi bagi orang yang belum terbiasa dengan apa yang terjadi pada pola yang sama tidak terlalu mencerahkan; mereka bahkan sering menyesatkan. Bahasa tidak hidup kecuali bagi mereka yang menggunakannya. [...]

Kami ahli matematika perlu melakukan upaya yang jauh lebih besar dalam mengkomunikasikan ide-ide matematika. Untuk mencapai hal ini, kita perlu lebih memperhatikan komunikasi tidak hanya definisi, teorema, dan bukti kita, tetapi juga cara berpikir kita. Kita perlu menghargai nilai dari berbagai cara berpikir tentang struktur matematika yang sama. Kita perlu memfokuskan lebih banyak energi pada pemahaman dan menjelaskan infrastruktur mental dasar matematika — dengan akibatnya lebih sedikit energi pada hasil terbaru. Ini memerlukan pengembangan bahasa matematika yang efektif untuk tujuan radikal menyampaikan ide kepada orang-orang yang belum mengenalnya.

Mengenai pertanyaan asli, ada makalah yang tidak menyajikan ide dalam format Definisi-Teorema-Bukti (DTP). Timothy Chow memiliki beberapa makalah yang fokus pada mengkomunikasikan ide-ide (meskipun mereka bukan makalah pertama (atau kedua) tentang topik / hasil).

1. Anda bisa menemukan urutan spektral , Timothy Chow, Notices of AMS
2. Memaksa untuk boneka , Timothy Chow

Salah satu alasan yang mungkin untuk prevalensi format DTP adalah bahwa kita semua terbiasa dengan itu dari buku dan kertas. Peninjau (dan pembaca) terkadang menganggap gaya penulisan yang tidak standar mengganggu. Jalan tengah adalah makalah yang dengan lembut memecah pembaca menjadi sebuah hasil. Ada makalah yang menyajikan kasus khusus atau masalah sederhana yang menggambarkan ide umum.

1. Struktur Topologi Komputasi Asinkron , Maurice Herlihy dan Nir Shavit. Makalah ini memiliki banyak ilustrasi dan menunjukkan ide umum untuk protokol sederhana sebelum menerapkan teorema utama untuk menyelesaikan beberapa masalah terbuka.
2. Logika dan set integer yang dapat dikenali$p$ , Véronique Bruyàre, Georges Hansel, Christian Michaux, dan Roger Villemaire. Eksposisi gaya survei dari hasil yang indah: himpunan bilangan alami yang dapat dikodekan oleh automata terbatas, terlepas dari basis yang dipilih tepat yang dapat didefinisikan dalam aritmatika Presburger. Makalah ini memiliki banyak contoh, mencakup kasus-kasus khusus sebelum kasus umum dan memberikan latar belakang sejarah tentang upaya pembuktian yang salah.

Tidak ada diskusi tentang presentasi ide-ide luar biasa yang tidak standar yang akan lengkap tanpa menyebutkan karya Jean-Yves Girard . Unik mungkin adalah kata terbaik untuk menggambarkannya (tanpa diplomatis atau sarkastik). Dari, kertas Linear Logic .

Penafsiran filosofis dari aturan-aturan Heyting sebenarnya hanya menyisakan sedikit ruang untuk diskusi lebih lanjut tentang kalkulus intuitionistic; tetapi adakah yang pernah mencoba dengan serius? Bahkan, logika linier, yang merupakan perluasan yang jelas dan bersih dari logika biasa, dapat dicapai melalui analisis semantik bukti yang lebih jelas (tidak terlalu jauh dari pendekatan ilmu komputer dan dengan demikian diturunkan ke bagian berikutnya), atau oleh pertimbangan tertentu kurang lebih langsung tentang kalkulus sekuensial. Pertimbangan ini memiliki makna geometris langsung, tetapi untuk dapat memahaminya, kita harus melupakan niat, mengingat, dengan pemimpin Cina, bahwa bukan warna kucing yang penting, tetapi fakta bahwa ia menangkap tikus.

Kemudian:

Masih ada orang yang mengatakan bahwa, untuk membuat ilmu komputer, seseorang pada dasarnya membutuhkan besi solder; pendapat ini juga dimiliki oleh ahli logika yang membenci ilmu komputer dan oleh insinyur yang membenci ahli teori. Namun, dalam beberapa tahun terakhir, kebutuhan untuk studi logis tentang program telah menjadi lebih jelas dan lebih jelas dan keterkaitan logika-ilmu-komputer tampaknya tidak dapat diubah. [...]
Dalam beberapa hal, logika memainkan peran yang sama dengan yang dimainkan oleh fisika geometri wrt: kerangka geometri memaksakan hasil konservasi tertentu, misalnya, rumus Stokes. Simetri logika mungkin mengungkapkan konservasi informasi yang mendalam, dalam bentuk yang belum dikonsep dengan benar.

Mungkin penulis tidak memasukkan upaya yang gagal ini dan kisah penelitian dalam makalah mereka yang diterbitkan karena kendala yang diberlakukan oleh editor dan anggota PC. Saya kira itu sangat tidak biasa untuk jurnal (dan mungkin bahkan lebih tidak biasa untuk konferensi) untuk menerima makalah di mana bagian utama dari itu dikhususkan untuk upaya yang gagal. Tetapi dalam kebanyakan kasus jika Anda berbicara dengan penulis atau ahli di daerah mereka akan menjelaskan cerita dan upaya yang gagal (dan banyak yang membicarakannya di lokakarya).

Saya telah melihat beberapa penulis menjelaskan di mana ide-ide itu berasal dari makalah mereka. Sebagai contoh, Girard menjelaskan dalam makalahnya bahwa ide untuk logika linier berasal dari upaya menemukan semantik denotasional untuk OR intuitionistic. Anda dapat menemukan informasi semacam ini juga dalam monografi dan biografi para peneliti dan volume terkenal yang dikhususkan untuk mereka ( otobiografi Halmos dan yang lebih baru "Kreiseliana: Tentang dan Sekitar Georg Kreisel " yang diedit oleh Odifreddi muncul di benak, ada juga volume dan artikel didedikasikan untuk beberapa teori kompleksitas). Semoga lebih banyak orang akan melakukan apa yang telah dilakukan Ryan dan secara sistematis menjelaskan proses dan menceritakan kisahnya.

ps: Anda dapat menganggap ini sebagai tradisi penelitian lisan :) (agak mirip dengan Torah Lisan yang tidak diizinkan untuk dituliskan ).

Ada sebuah makalah yang diterbitkan oleh Laszlo Babai (1990) dalam bentuk dongeng tentang Arthur dan Merlin yang menguraikan urutan dramatis peristiwa yang membawa masyarakat ke hasil IP = PSPACE pada tahun 1989, yang sangat sulit dipercaya hanya setahun sebelumnya.