Mengurai fungsi submodular

Diberikan fungsi submodular pada mana dan terpisah dan . Berikut dan yang submodular di dan masing-masing. $f$ $\Omega=X_1\cup X_2$ $X_1$ $X_2$ $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ $f_1$ $f_2$ $X_1$ $X_2$

Di sini tidak dikenal dan hanya kueri nilai yang diberikan akses ke . Lalu adakah algoritma polytime yang menemukan . Jika ada beberapa pilihan untuk salah satunya harus baik-baik saja. $X_1,X_2,f_1,f_2$ $f$ $X_1$ $X_1$

Beberapa pemikiran. Jika kami dapat menemukan dua elemen sedemikian rupa sehingga keduanya adalah milik atau milik maka kami dapat menggabungkannya dan melanjutkan secara rekursif. Tetapi tidak jelas bagaimana menerapkan langkah tersebut. $t_1,t_2$ $X_1$ $X_2$

ds.algorithms submodularity

— Ashwinkumar BV
sumber

Apakah Anda bermaksud mengatakan bahwa

mana

dan

-masing submodular pada dan ?

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Chandra Chekuri

Ya, saya memang bersungguh-sungguh. Terima kasih telah menunjukkan kesalahan ketik, saya akan memperbaikinya.

— Ashwinkumar BV

Saya tidak yakin apakah yang saya katakan di bawah ini benar tetapi inilah idenya. Ambil elemen arbitrer . Jika maka tidak terpengaruh oleh elemen-elemen lainnya sehingga kita dapat memilih dan . Kalau tidak, biarkan menjadi subset minimal bijaksana sehingga . Maka akan tampak bahwa harus berada di partisi yang sama dan karenanya kita dapat mengecilkan set menjadi elemen tunggal dan berulang jika itu lebih kecil dari , jika tidak kita menyimpulkan bahwa tidak ada partisi yang diinginkan ada.

e \in Ω

$e \in \Omega$

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$

e

$e$

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$

X

$X$

Ω - e

$\Omega-e$

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$

Ω

$\Omega$

— Chandra Chekuri

Memutuskan untuk membuat komentar menjadi jawaban.

— Chandra Chekuri

Ambil elemen arbitrer . Jika maka tidak terpengaruh oleh elemen-elemen lainnya sehingga kita dapat memilih dan . Kalau tidak, biarkan menjadi subset minimal bijaksana sehingga . Maka harus berada di partisi yang sama. Jika kami menyimpulkan bahwa tidak ada partisi yang diinginkan, jika tidak, kami mengecilkan set ini menjadi elemen tunggal dan berulang. $e \in \Omega$ $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ $e$ $X_1 = \{e\}$ $X_2 = \Omega-\{e\}$ $X$ $\Omega-e$ $f(e) > f_X(e)$ $X \cup \{e\}$ $X \cup \{e\} = \Omega$

— Chandra Chekuri
sumber