Contoh semiring dari teori bahasa formal

Saya belajar teori aljabar parsing. Masalah pertama saya adalah mengidentifikasi contoh semiring yang spesifik untuk teori bahasa formal. Berikut ini adalah upaya untuk membangun dua contoh.

1 Dengan tata bahasa CNF, elemen semiring adalah kumpulan simbol terminal dan nonterminal dengan operasi:

i) Perkalian , bergabung dengan dua set pasangan-bijaksana sesuai dengan aturan CYK. Misalnya diberikan tata bahasa CNF

s: p p | q r
t: p q
u: q q

kemudian

$\{p,q,r\}\otimes \{p,r\} = \{s,t\}$

ii) Penambahan diatur serikat, misalnya

$\{p,q\}\oplus \{q,r\} = \{p,q,r\}$

Sayangnya, perkalian tidak asosiatif.

2 Unsur-unsur semiring kedua adalah set bukan simbol tetapi aturan tata bahasa [tidak harus dalam CNF] diubah dengan posisi. Operasi adalah

i) Perkalian , bergabung dengan semua pasangan elemen yang cocok sesuai dengan aturan lengkap Earley. Misalnya diberikan tata bahasa CNF

s: p q r 
r: s t | u

kemudian

$\{s: p \bullet q r,s: p q \bullet r\}\otimes \{r: u \bullet \} = \{s: p q r \bullet \}$

ii) Tambahan lagi adalah serikat yang ditetapkan, misalnya

$\{s: p \bullet q r, r: \bullet s t\}\oplus \{r: u \bullet \} = \{s: p \bullet q r, r: \bullet s t, r: u \bullet\}$

Contoh ini juga kurang.

Semiring dengan unsur-unsur yang menjadi seperangkat aturan tata bahasa dan multiplikasi menjadi substitusi aturan tampaknya berfungsi dengan baik. Namun, ini hanya hubungan aljabar yang menyamar. Memang, mari kita melihat setiap aturan tata bahasa sebagai kelas ekivalensi - satu set pasangan kata yang terdiri dari huruf terminal dan nonterminal yang terkait dengan penerapan aturan, misalnya

$[t : s a] = \{ (t,sa),(ta,saa),(bt,bsa),(abt,absa),... \}$

Kemudian, pengenalan kata dalam tata bahasa adalah rantai komposisi relasional, misalnya

$[t:sa] \otimes [s:aa] \otimes \{(aaa,aaa)\} = \{(t,aaa)\}$

(Monomial ini mengingatkan pada polinomial pengurai semiring dari tesis Josh Goodman PhD; namun, mari kita ulangi bahwa membangun semir baru dengan mengambil polinomial dan matriks tidak menjadi perhatian kita di sini).

Jadi, pertanyaannya tetap: apakah semiring bahasa formal lebih dari alfabet satu-satunya contoh? $\Sigma$

Ada banyak semir yang berkaitan dengan teori bahasa. Pertama-tama, semiring Boolean. Berikutnya setiap kelas bahasa yang ditutup di bawah serikat terbatas dan (gabungan) produk adalah subsemiring dari semiring semua bahasa. Misalnya bahasa rasional (= reguler) membentuk semiring. Lihat juga gagasan terkait aljabar Kleene .

$k \times k$$\{-\infty, 0, 1\}$

$(\mathbb{N} \cup \{+\infty\}, \min, +)$$(\mathbb{N} \cup \{-\infty\}, \max, +)$

Bersenang-senang dengan Semirings: Mutiara fungsional tentang penyalahgunaan aljabar linier

Efficent Divide and Conquer parsing dari bahasa bebas konteks

$S\otimes_{p,k} T = S \cup \bigcup (Y: \bullet \gamma$

$S(0) = \bigotimes_{p,0}^{\infty} S_0(0)$