Teorema hierarki untuk rasio aproksimasi?

Seperti diketahui, masalah optimasi NP-hard dapat memiliki banyak rasio pendekatan yang berbeda, mulai dari memiliki PTAS hingga tidak dapat diperkirakan dalam faktor apa pun. Di antaranya, kita memiliki berbagai konstanta, , , dll. $O(\log n)$ $poly(n)$

Apa yang diketahui tentang set kemungkinan rasio? Bisakah kita membuktikan semacam "hierarki aproksimasi"? Secara formal, untuk fungsi apa dan dapatkah kita membuktikan bahwa ada masalah dengan rasio perkiraan ? $f(n)$ $g(n)$ $f(n)\leq \alpha < g(n)$

Dalam hal , apakah ada masalah dengan rasio perkiraan tepatnya ? $\alpha=O(1)$ $\alpha$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Jeremy Hurwitz
sumber

Bukti dari teorema semacam itu kemungkinan besar akan menyerupai wisdom.weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html . Mengingat masalah dengan dikenal pendekatan terikat

, kita membuat masalah "lebih mudah" entah bagaimana, mungkin menggunakan beberapa bentuk padding, untuk mendapatkan masalah dengan pendekatan terikat

α

$\alpha$

f (α)

$f(\alpha)$

— Jeremy Hurwitz

dan

bukan konstanta.

O (\log n)

$O(\log n)$

p o l y (n)

$poly(n)$

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Saya pikir maksudnya di antara PTAS dan tidak ada perkiraan ada konstanta, log dan poli (n) dll

— Suresh Venkat

Tidakkah Anda perlu mengesampingkan transformasi sepele di mana

aproksimasi untuk meminimalkan f segera adalah

α

$\alpha$

perkiraan

untuk meminimalkan

\sqrt{α}

$\sqrt{\alpha}$

\sqrt{f}

$\sqrt{f}$

— Suresh Venkat

Adapun pertanyaan terakhir Anda tentang α = O (1), ikatan ketat telah ditunjukkan untuk banyak masalah seperti pengemasan bin, penjadwalan mesin (iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html)

— Gopi

Jawaban:

Ada hirarki pendekatan, contoh utama diketahui: FPTAS EPTAS POMG APX . Tetapi untuk ketidaksepakatan juga ada NPO-PB . $\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

Ada banyak hasil tentang set rasio yang mungkin, pergi dari hasil seperti ini:

EPTAS FPTAS, kecuali , $P||C_{max} \in$ $\backslash$ $P=NP$

untuk mendefinisikan masalah APX / NPO-PB-hard.

Beberapa referensi:

TENTANG PTAS: M. Cesati dan L. Trevisan. Tentang efisiensi skema perkiraan waktu polinomial, 1997.
Pada NPOPB: V. Kann. Batas bawah yang kuat pada perkiraan beberapa masalah maksimalisasi NPO PB-lengkap

Tetapi saya menyarankan yang terbaik adalah memeriksa Kompleksitas Kebun Binatang karena memiliki lebih banyak informasi dan referensi tentang contoh-contoh itu, bahkan Wikipedia

$\alpha=O(1)$

— Gopi
sumber

Saya masih berpikir komentar Suresh di bawah pertanyaan ini cukup untuk menunjukkan bahwa rasio apa pun mungkin. Jika Anda tidak yakin dengan itu, Anda dapat melihat Boolean Constraint Satisfaction Problem (CSPs), misalnya.

$P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$ $k$ $n \gg k$ $x_1, \ldots, x_n$ $m$ $P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ $\lambda_i$ $3SAT$ $P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$ $\rho(P)$ $2^k$ $P$ $3SAT$ $7/8$ $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $\rho(P)+\epsilon$ $\epsilon > 0$

$\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $P$

Per Austrin dan Johan Håstad, Secara acak Mendukung Kemandirian dan Perlawanan, Jurnal SIAM tentang Komputer, vol. 40, tidak. 1, hlm. 1-27, 2011.

$\alpha$ $\alpha' \leq \alpha$ $\rho(P) = \alpha'$

— KIA
sumber