Algoritma reducibilitas dan subeksponensial SERF

Saya punya pertanyaan tentang reduksibilitas SERF dari Impagliazzo, Paturi dan Zane dan algoritma subeksponensial . Definisi SERF-reducibility memberikan yang berikut:

Jika adalah SERF-dapat direduksi menjadi dan ada algoritma untuk untuk setiap , maka ada algoritma untuk untuk setiap . (Parameter kekerasan untuk kedua masalah dilambangkan dengan .) $P_1$ $P_2$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_2$ $\varepsilon > 0$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_1$ $\varepsilon > 0$ $n$

Beberapa sumber tampaknya menyiratkan bahwa yang berikut ini juga berlaku:

Jika adalah SERF-dapat direduksi menjadi dan ada algoritma untuk , maka ada algoritma untuk . $P_1$ $P_2$ $O(2^{o(n)})$ $A_2$ $O(2^{o(n)})$ $P_1$

Pertanyaan saya adalah, apakah klaim yang terakhir ini benar-benar berlaku dan jika benar, apakah ada pembuktian di suatu tempat?

Sebagai latar belakang, saya telah mencoba memahami area di sekitar Hipotesis Waktu Eksponensial. IPZ mendefinisikan masalah subeksponensial sebagai masalah yang memiliki algoritma untuk setiap $O(2^{\varepsilon n})$ $\varepsilon > 0$ , tetapi ini tampaknya tidak cukup mengingat pengetahuan saat ini untuk menyiratkan adanya algoritma subeksponensial untuk masalah tersebut. Kesenjangan yang sama tampaknya ada dalam reduksiibilitas SERF, tetapi saya sebagian berharap bahwa saya kehilangan sesuatu di sini ...

cc.complexity-theory reference-request

— Janne H. Korhonen
sumber

EDIT: Seperti yang ditunjukkan oleh Ryan dalam komentar, masalah mungkin memiliki algoritma tidak seragam dengan waktu berjalan untuk konstanta (algoritma memiliki akses ke ) tetapi tidak ada seragam $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon > 0$ $\epsilon$ $2^{o(n)}$ waktu algoritma.

Karena pengurangan SERF adalah keluarga pengurangan Turing, satu untuk setiap , saya menyimpulkan bahwa mereka hanya dapat digunakan untuk mendapatkan $\epsilon>0$ algoritma waktudari $O(2^{\epsilon n})$ atau waktu algoritma. $O(2^{\epsilon n})$ $2^{o(n)}$

Teorema berikut dibuktikan oleh Chen et al. [2009] .

Teorema 2.4 . Biarkan menjadi fungsi nondecreasing dan tidak terbatas, dan biarkan menjadi masalah parameter. Maka pernyataan berikut ini setara: (1) dapat diselesaikan dalam waktu untuk setiap konstanta , di mana adalah polinomial; (2) dapat diselesaikan tepat waktu $f(k)$ $Q$
$Q$ $O(2^{\delta f(k)}p(n))$ $\delta > 0$ $p$
$Q$ , di mana adalah polinomial. $2^{o(f(k))} q(n)$ $q$

Mengambil kita memperoleh bahwa masalah memiliki algoritma waktu untuk setiap jika dan hanya jika memiliki algoritma waktu . $f(k)=n$ $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon>0$ $2^{o(n)}$

Disebutkan di koran oleh Chen et al. bahwa kesetaraan ini telah digunakan secara intuitif sebelumnya tetapi menyebabkan kebingungan di antara para peneliti.

— Serge Gaspers
sumber

Hanya sebuah catatan: ada beberapa kondisi lain yang perlu diasumsikan agar buktinya bekerja. Untuk satu,

harus dapat dihitung secara efisien. Kedua, harus ada algoritma seragam tunggal

yang mencapai

untuk setiap

(anggap

sebagai input lain ke

). Sangat mungkin bahwa tanpa kondisi ini, masalah dapat memuaskan (1) tetapi tidak (2).

f

$f$

A

$A$

2^{δ f (k)}

$2^{\delta f(k)}$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

A

$A$

— Ryan Williams

f

$f$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{o (m)}

$2^{o(m)}$

ε > 0

$\varepsilon > 0$ ada sebuah

O (2^{ε n})

$O(2^{\varepsilon n})$ algoritma) dan lainnya menggunakan definisi "seragam" (ada

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$ Algoritma.) Secara khusus IPZ menggunakan yang pertama. Untuk yang terakhir, Anda harus mengubah definisi reduksi SERF sehingga menjadi parameter

ε

$\varepsilon$ diberikan untuk reduksi sebagai input; bandingkan dengan teorema Chen et al di atas. Untuk perincian, lihat misalnya Bab 16 dari Parameterized Complexity Theory (2006) oleh Flum and Grohe.

— Janne H. Korhonen

Juga tampaknya bahwa Flum dan Grohe memberikan bukti teorema dalam jawaban di buku mereka; lihat Lemma 16.1.

— Janne H. Korhonen