Masalah "diarahkan" yang lebih mudah daripada varian "tidak diarahkan" mereka.

28

Saya sedang mempresentasikan kuliah tentang penyortiran pancake , dan menyebutkan bahwa:

Yang membuat saya berpikir. Ada perasaan di mana penyortiran "tanda tangan" diarahkan "- Anda dapat melihat tanda sebagai arah (dan memang, inilah motivasi dari biologi evolusi). Tapi ini masalah yang lebih mudah! Ini tidak biasa karena umumnya (setidaknya pada grafik) masalah yang diarahkan lebih sulit (atau setidaknya sama sulitnya) dengan rekan-rekan mereka yang tidak terarah.

Dengan asumsi definisi "diarahkan" yang murah hati, apakah ada contoh masalah yang diarahkan yang lebih mudah daripada rekan-rekan mereka yang tidak diarahkan?

ds.algorithms

— Suresh Venkat
sumber

2

Anda dapat mempertimbangkan Horn 3SAT (setiap klausa dapat direpresentasikan sebagai (A AND B) C) sebagai klausa terarah karena dapat dianggap sebagai implikasi. Jadi, di sini kasus yang diarahkan mudah sedangkan 3SAT yang tidak diarahkan sulit.

\to

$\to$

— Mohammad Al-Turkistany

1

Saya bertanya-tanya pertanyaan serupa untuk kelas yang saya ajarkan (di mana kami menggunakan LP untuk memperkirakan solusi IP): apakah ada kelas masalah di mana menemukan solusi integer lebih mudah daripada menemukan solusi rasional

— Gopi

17

Menghitung sirkuit Euler untuk grafik berarah dapat dilakukan dalam waktu polinomial menggunakan teorema TERBAIK , sementara tampaknya, masalah yang sama untuk grafik tidak berarah adalah # P-complete .

— Timothy Sun
sumber

Semua jawabannya bagus, tetapi jika saya harus menerimanya, ini karena kesenjangannya besar dan masalahnya sangat bersih.

— Suresh Venkat

15

Kasus yang menarik dan tidak begitu terkenal adalah sebagai berikut. Misalkan kita memiliki graf tepi-tertimbang dan simpul akar . Kami ingin sub-grafik biaya-minimum sedemikian sehingga ada jalur edge-disjoint dari ke setiap node dalam grafik. Ketika ini adalah masalah arborescence min-biaya dalam grafik diarahkan dan dalam grafik tidak terarah itu setara dengan masalah MST. Keduanya dipecahkan dalam poli-waktu meskipun case yang tidak diarahkan lebih mudah. Namun masalahnya adalah waktu-terpecahkan dalam grafik terarah untuk setiap sedangkan NP-Hard dalam grafik tidak terarah untuk (karena ia menangkap biaya-min $G$ $r$ $G$ $k$ $r$ $k=1$ $k$ $k=2$ masalah sub-grafik yang terhubung). $2$

— Chandra Chekuri
sumber

13

Mungkin ini bukan contoh terbaik, tetapi pertimbangkan (Disutradarai) Cycle Cover, di mana tugasnya adalah untuk menutupi semua simpul dengan vertex-disjoint (diarahkan) siklus. Dalam kasus yang diarahkan, ini dapat direduksi menjadi pencocokan bipartit dan diselesaikan dalam waktu polinomial. Dalam kasus yang tidak diarahkan, masalahnya dapat direduksi menjadi pencocokan non-bipartit (dan sebaliknya), yang merupakan masalah yang lebih sulit, tetapi masih dapat dipecahkan dalam waktu polinomial.

— Daniel Marx
sumber

10

G

$G$

G

$G$

G

$G$

Ini jelas merupakan contoh yang baik, dan sejalan dengan apa yang saya pikirkan ketika saya mengajukan pertanyaan.

— Suresh Venkat

2

Saya selalu mendapat kesan bahwa "masalah yang melibatkan siklus" lebih mudah pada grafik yang diarahkan. Mungkin ada beberapa prinsip di baliknya, seperti komponen yang terhubung 2 memiliki "struktur kurang" dari komponen yang terhubung kuat ("masalah yang melibatkan siklus" = yang dapat diselesaikan dengan melihat secara terpisah pada setiap komponen).

— Diego de Estrada

3

Diego: jika jalan tertutup yang diarahkan melewati vertex v, maka ada siklus yang diarahkan melalui v. Pernyataan analog tidak benar untuk grafik tidak berarah. Jadi dalam grafik terarah, sering kali kita dapat beralasan tentang jalan kaki alih-alih siklus. Berjalan lebih kuat dan lebih sedikit grafik-teoretis daripada siklus, yang bisa menjadi keuntungan. Mungkin ini adalah penjelasan formal tentang kesan Anda.

— Daniel Marx

9

Inilah masalah yang, seperti baru-baru ini saya sadari, terlihat lebih sulit dalam grafik yang tidak diarahkan daripada yang diarahkan.

$m\sqrt{n}\log C$ $m$ $n$ $C$ $n^3, mn\log n$

$m\sqrt{n}\log C$ $n^3, mn\log n$

— virgi
sumber

tapi di sini 'keras' hanya berarti sehubungan dengan runtime (polinomial) dari algoritma yang kita tahu; mungkin saja kita kehilangan beberapa teknik, tentu saja

— virgi

2

Itu contoh menarik lainnya. Dan ps selamat atas hasil baru yang luar biasa.

— Suresh Venkat

1

Terima kasih, Suresh! Pada catatan lain, saya hanya memperhatikan bahwa ilyaraz memiliki jawaban saya dalam komentar atas jawaban Daniel Marx ... maaf untuk duplikatnya.

— virgi