Masalah perhitungan yang sangat besar tapi terbatas secara lokal

Pertanyaan ini terinspirasi oleh komentar Jukka Suomela yang dibuat pada pertanyaan lain .

Apa saja contoh dari masalah perhitungan yang sangat besar tapi terbatas secara lokal (dan algoritma)?

Dengan kata lain, apa saja contoh perhitungan yang berhenti dalam waktu yang terbatas, di mana setiap Mesin Turing membaca dan memproses hanya data yang terbatas, tetapi secara keseluruhan perhitungan memecahkan masalah ukuran tak terbatas jika ada banyak mesin Turing yang terhubung dalam jaringan yang tak terbatas?

Hanya untuk memberikan beberapa ide tentang apa yang mungkin (tapi agak non-sepele), berikut adalah salah satu contohnya: algoritma terdistribusi yang menemukan pengemasan tepi maksimal pada grafik derajat terbatas.

Definisi masalah

Diberikan grafik sederhana tidak terarah , pengepakan tepi (atau pencocokan fraksional) mengaitkan bobot w ( e ) dengan masing-masing tepi e ∈ E sedemikian rupa sehingga untuk setiap simpul v ∈ V , total berat tepi yang terjadi pada v paling banyak 1 . Sebuah simpul jenuh jika bobot total tepi insiden sama dengan 1 . Pengepakan tepi maksimal jika semua tepi memiliki setidaknya satu titik akhir jenuh (yaitu, tidak ada beban yang dapat diperpanjang dengan rakus).$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

Perhatikan bahwa pencocokan maksimal mendefinisikan pengemasan tepi maksimal (set w ( e ) = 1 iff e ∈ M ); karenanya mudah untuk diselesaikan dalam pengaturan terpusat klasik (dengan asumsi G adalah terbatas).$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

Pengepakan tepi sebenarnya memiliki beberapa aplikasi, setidaknya jika seseorang mendefinisikan aplikasi dalam pengertian TCS yang biasa: himpunan node jenuh membentuk perkiraan dari penutup vertex minimum (tentu saja ini hanya masuk akal dalam kasus G terbatas ) .$2$$G$

Model perhitungan

Kami akan menganggap bahwa ada konstanta global sedemikian rupa sehingga derajat v ∈ V paling banyak adalah Δ .$\Delta$$v \in V$$\Delta$

Untuk menjaga agar ini sedekat mungkin dengan semangat pertanyaan awal, mari kita mendefinisikan model perhitungan sebagai berikut. Kami berasumsi bahwa setiap node adalah mesin Turing, dan edge { u , v } ∈ E adalah saluran komunikasi antara u dan v . Pita input v mengkodekan derajat deg ( v ) dari v . Untuk setiap v ∈ V , insiden tepi ke v diberi label (dalam urutan acak) dengan bilangan bulat 1 , 2 , $v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$ ; ini disebutlabel tepi lokal(label { u , v } ∈ E dapat berbeda untuk u dan v ). Mesin memiliki instruksi untuk dapat mengirim dan menerima pesan melalui masing-masing tepi ini; mesin dapat mengatasi tetangganya dengan menggunakan label tepi lokal.$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

Kami mengharuskan mesin menghitung tepi valid kemasan untuk G . Lebih tepatnya, setiap v ∈ V harus mencetak pada pita keluarannya suatu pengkodean w ( e ) untuk setiap tepi dan insiden ke v , dipesan oleh label tepi lokal, dan kemudian berhenti.$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

Kami mengatakan bahwa algoritma terdistribusi menemukan pengemasan tepi maksimal dalam waktu T , jika berikut ini berlaku untuk setiap grafik G dengan derajat maksimum Δ , dan untuk setiap pelabelan tepi lokal G : jika kami mengganti setiap simpul G dengan salinan identik mesin Turing A dan nyalakan mesin, lalu setelah langkah T semua mesin telah mencetak solusi yang valid (konsisten secara global) dan berhenti.$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

Infinities

Sekarang semua hal di atas masuk akal bahkan jika himpunan node tak terhitung jumlahnya.$V$

Perumusan masalah dan model perhitungan tidak memiliki referensi ke , langsung atau tidak langsung. Panjang input untuk setiap mesin Turing dibatasi oleh konstanta.$|V|$

Apa yang diketahui?

Masalahnya dapat diselesaikan dalam waktu yang terbatas bahkan jika tidak terbatas.$G$

Masalahnya adalah non-sepele dalam arti bahwa beberapa komunikasi diperlukan. Selain itu, waktu berjalan tergantung pada . Namun, untuk setiap tetap Δ , masalah dapat diselesaikan dalam waktu yang konstan terlepas dari ukuran G ; khususnya, masalahnya dapat dipecahkan pada grafik yang sangat besar.$\Delta$$\Delta$$G$

Saya belum memeriksa apa waktu berjalan paling dikenal dalam model yang didefinisikan di atas (yang bukan model yang biasa digunakan di lapangan). Namun demikian, waktu berjalan yang polinomial dalam harus cukup mudah untuk dicapai, dan saya pikir waktu berjalan yang sublinear dalam Δ tidak mungkin.$\Delta$$\Delta$

Menemukan generasi berikutnya dari Cellular Automaton .

Ini dapat diselesaikan seperti yang Anda gambarkan dalam waktu yang konstan. $\;$ (Yaitu, independen dari input)

Pada dasarnya, setiap masalah yang setidaknya sama sulitnya dengan pewarnaan membutuhkan algoritma dengan waktu berjalan tergantung pada jumlah node dalam jaringan dan dengan demikian tidak dapat bekerja dalam grafik tak terbatas tetapi terbatas secara lokal. Ini mengikuti dari log mani Linial * n batas bawah.

$AC^0$$AC^0$