"Permutasi game" isomorfik untuk gim berikut:
Memutuskan. Pemain bergantian menghapus simpul dari graf . Pemain yang menghasilkan grafik yang terputus sepenuhnya (yaitu, grafik tanpa tepi) adalah pemenangnya.G
Grafik berhubungan dengan permutasi awal tertentu π ∈ S n berisi hanya sisi-sisi tersebut ( i , j ) yang i - j dan π ( i ) - π ( j ) memiliki tanda-tanda yang berlawanan. Artinya, setiap pasangan angka salahGππ∈ Sn( i , j )i - jπ( i ) - π( j )urutan permutasi dikaitkan dengan edge. Jelas gerakan yang diizinkan adalah isomorfis bagi yang ada dalam permutasi permainan (hapus angka = hapus simpul), dan kondisi yang menang adalah isomorfik juga (tidak ada pasangan dalam urutan menurun = tidak ada tepi yang tersisa).
Pandangan komplementer diperoleh dengan mempertimbangkan memainkan game "ganda" pada komplemen grafik , yang berisi tepi-tepi ( i , j ) yang i dan j berada dalam urutan yang benar dalam permutasi. Game ganda untuk Putus adalah:Gcπ= GR ( π)( i , j )sayaj
Hubungkan kembali. Pemain bergantian menghapus simpul dari graf . Pemain yang menghasilkan grafik lengkap adalah pemenangnya.G
Bergantung pada permutasi tertentu, salah satu game ini mungkin tampak lebih sederhana daripada yang lain untuk dianalisis. Keuntungan dari representasi grafik adalah jelas bahwa komponen-komponen grafik yang terputus adalah permainan yang terpisah, sehingga orang berharap untuk pengurangan kompleksitas. Itu juga membuat simetri posisi lebih jelas. Sayangnya, kondisi yang menang tidak standar ... permutasi permainan akan selalu berakhir sebelum semua gerakan habis, memberikannya karakter misère . Secara khusus, nim-nilai tidak dapat dihitung sebagai nim-sum (biner XOR) dari nim-nilai komponen yang terputus.
Untuk Putus, tidaklah sulit untuk melihat bahwa untuk grafik setiap dan setiap bahkan n , permainan G ∪ ˉ K n setara dengan G (di mana ˉ K n adalah grafik edgeless pada n simpul). Untuk membuktikannya, kita harus menunjukkan bahwa jumlah disjungtif G + G ∪ ˉ K n adalah kemenangan pemain kedua. Buktinya adalah dengan induksi pada | G | + n . Jika GGnG ∪ K¯nGK¯nnG + G ∪ K¯n| G | +nGedgeless, maka pemain pertama langsung kalah (kedua game berakhir). Jika tidak, pemain pertama dapat bergerak di salah satu , dan pemain kedua dapat menyalin gerakannya di yang lain (dikurangi menjadi G ′ + G ′ ∪ ¯ K n dengan | G ′ | = | G | - 1 ); atau, jika n ≥ 2 , pemain pertama dapat bergerak di bagian yang terputus, dan pemain kedua dapat melakukan hal yang sama (dikurangi menjadi G + G ∪ ˉ K n - 2 ).GG′+ G′∪ Kn¯| G′| = | G | -1n ≥ 2G + G ∪ K¯n - 2
Ini menunjukkan bahwa setiap graf adalah setara dengan H ∪ K p , di mana H adalah bagian dari G tanpa simpul terputus, dan p = 0 atau 1 adalah paritas dari jumlah simpul terputus di G . Semua game di kelas kesetaraan memiliki yang sama nim-nilai, dan terlebih lagi, kesetaraan hubungan hal operasi union: jika G ~ H ∪ K p dan G ' ~ H ' ∪ K p ' kemudian GGH∪ KhalHGp = 01GG∼H∪KpG′∼H′∪Kp′ . Selain itu, orang dapat melihat bahwa permainan di [ H ∪ K 0 ] dan [ H ∪ K 1 ] memiliki nilai nim yang berbeda kecuali H adalah grafik nol: ketika bermain H + H ∪ K 1 , pemain pertama dapat mengambil yang terisolasi simpul, meninggalkan H + H , dan kemudian menyalin gerakan pemain kedua sesudahnya.G∪G′∼(H∪H′)∪Kp⊕p′[H∪K0][H∪K1]HH+H∪K1H+H
Saya tidak tahu hasil dekomposisi terkait untuk Hubungkan kembali.
Dua jenis permutasi khusus berhubungan dengan game heap yang sangat sederhana.
- Yang pertama adalah menaik menjalankan dari keturunan , misalnya, . Ketika π mengambil formulir ini, grafik G π adalah gabungan dari klik-klik yang terpisah, dan permainan Disconnect dikurangi menjadi sebuah game dengan tumpukan: pemain secara bergantian menghapus satu kacang dari tumpukan sampai semua tumpukan memiliki ukuran 1 .32165487πGπ1
- Yang kedua adalah penurunan yang naik , misalnya, . Ketika π mengambil formulir ini, grafik G c π adalah gabungan klik yang terputus-putus, dan gim Reconnect mengecil menjadi gim dengan tumpukan: pemain secara bergantian melepas satu biji dari tumpukan sampai hanya ada satu tumpukan yang tersisa .78456123πGcπ
Sebuah pemikiran kecil menunjukkan bahwa dua permainan berbeda ini bertumpuk (kita dapat menyebutnya 1-Tumpukan dan Satu Tumpukan , dengan beberapa risiko kebingungan), pada kenyataannya, itu sendiri isomorfis. Keduanya dapat diwakili oleh permainan pada diagram Young (seperti yang awalnya diusulkan oleh @domotorp) di mana pemain secara bergantian menghapus kotak kanan bawah sampai hanya satu baris yang tersisa. Ini jelas merupakan game yang sama dengan 1-Heaps ketika kolom sesuai dengan heaps, dan game yang sama dengan One-Heap ketika baris sesuai dengan heaps.
Elemen kunci dari game ini, yang meluas ke Disconnect dan Reconnect, adalah durasinya terkait dengan status game final dengan cara yang sederhana. Saat giliran Anda tiba, Anda akan menang jika gim masih tersisa, termasuk gim yang akan Anda buat. Karena satu kotak dihapus setiap gerakan, ini berarti Anda ingin jumlah kotak yang tersisa di akhir permainan memiliki paritas yang berlawanan dengan yang ada sekarang. Selain itu, jumlah kotak akan memiliki paritas yang sama di semua belokan Anda; jadi Anda tahu dari awal berapa paritas yang Anda inginkan untuk penghitungan akhir. Kita dapat memanggil dua pemain Eve dan Otto, berdasarkan apakah penghitungan akhir harus genap atau ganjil bagi mereka untuk menang. Hawa selalu bergerak di negara-negara dengan paritas ganjil dan menghasilkan negara-negara dengan paritas genap, dan Otto sebaliknya.
Dalam jawabannya, @PeterShor memberikan analisis lengkap One-Heap. Tanpa mengulangi buktinya, hasilnya adalah sebagai berikut:
- Otto suka heaps dan 2- heaps, dan bisa mentolerir tumpukan yang lebih besar. Dia menang jika dia dapat membuat semua ukuran tumpukan kecuali satu ≤ 2 , setidaknya tanpa memberi Hawa kemenangan langsung dari formulir ( 1 , n ) . Strategi optimal untuk Otto adalah untuk selalu mengambil dari tumpukan terbesar kedua kecuali ketika negara adalah ( 1 , 1 , n > 1 ) , ketika ia harus mengambil dari n . Otto akan kalah jika terlalu banyak kacang dalam tumpukan besar untuk memulai.12≤2(1,n)(1,1,n>1)n
- Eve tidak suka -heaps. Dia menang jika dia dapat membuat semua ukuran tumpukan ≥ 2 . Strategi optimal untuk Hawa adalah selalu mengambil dari 1- heap, jika ada, dan tidak pernah mengambil dari 2- heap. Hawa akan kalah jika terlalu banyak 1- tumpukan untuk memulai.1≥2121
Seperti disebutkan, ini memberikan strategi optimal untuk 1-Heaps juga, walaupun mereka agak canggung untuk frase (dan saya mungkin membuat kesalahan dalam "terjemahan" primer-ke-ganda). Dalam game 1-Heaps:
- Otto menyukai satu atau dua tumpukan besar, dan dapat mentoleransi jumlah tumpukan. Dia menang jika dia bisa membuat semua kecuali dua tumpukan terbesar menjadi 1- tumpukan, setidaknya tanpa memberi Hawa kemenangan langsung dari formulir ( 1 , 1 , … , 1 , 2 ) . Strategi optimal untuk Otto adalah selalu mengambil dari tumpukan terbesar ketiga, atau dari tumpukan kecil ketika hanya ada dua tumpukan.11( 1 , 1 , … , 1 , 2 )
- Eve tidak menyukai celah antara tumpukan terbesar dan terbesar kedua. Dia menang jika dia bisa membuat dua tumpukan terbesar dengan ukuran yang sama. Strategi optimal untuk Hawa adalah selalu mengambil dari tumpukan terbesar, jika unik, dan tidak pernah jika ada tepat dua dari ukuran terbesar.
Sebagaimana dicatat oleh @PeterShor, tidak jelas bagaimana (atau jika) analisis ini dapat diperluas ke permainan Putus dan Hubungkan kembali yang lebih umum.