Bagaimana Knuth menurunkan A?

Saat mengartikan kunci sebagai angka alami, kita dapat menggunakan rumus berikut.

h (k) = ⌊ m (k A mod 1) ⌋

$\begin{equation} h(k) = \lfloor m (kA\bmod{1}) \rfloor \end{equation}$

Apa yang saya kesulitan pahami adalah bagaimana kita memilih nilai A di mana:

0 < A < 1

$\begin{equation} 0 < A < 1 \end{equation}$

Menurut Knuth nilai optimal adalah:

A \approx (\sqrt{5} - 1) / 2 = 0.6180339887...

$\begin{equation} A \thickapprox (\sqrt{5} - 1) / 2 = 0.6180339887... \end{equation}$

Jadi pertanyaan saya adalah bagaimana Knuth sampai pada ini dan bagaimana saya bisa menghitung nilai optimal untuk data spesifik saya?

hash-function

— Kekacauan Kekacauan
sumber

Saya hanya merasa menarik bahwa

A = 1 + ϕ

$A = 1+\phi$ ... dan googling yang benar-benar membawa referensi ke "Knuth berpendapat bahwa perkalian berulang dengan rasio emas akan meminimalkan kesenjangan dalam ruang hash, dan dengan demikian itu adalah pilihan yang baik untuk menggabungkan bersama beberapa kunci untuk membentuk satu. "

— Ahmed Masud

Jika saya ingat dengan benar itu dijelaskan dalam salah satu latihan dalam arti

k A \mod 1

$kA \mod 1$ tersebar dengan baik dalam interval unit. Tapi saya tidak punya buku untuk diperiksa.

— Radu GRIGore

@ RaduGRIGorea ini adalah teorema terkenal bahwa adalah modulo yang terdistribusi secara merata

A, 2 A, \dots

$A, 2A, \ldots$

1

$1$ untuk setiap irasional (teorema 6.3 dari Niven's "Irrational Numbers"). Mungkin adalah pilihan terbaik dalam beberapa hal.

A

$A$

A = 1 + ϕ

$A=1+\phi$

— Didest

Tidak ada yang namanya "lebih optimal"; itu seperti mengatakan "lebih banyak yang terbaik". Entah itu nilai optimal atau tidak.

— Jeffε

Perlu ditunjukkan bahwa nilai ini juga digunakan oleh proses alami. Secara khusus, sudut emas mengatur penempatan kelopak, kuntum, dll di banyak tanaman. Rotasi dengan sudut ini dapat diterapkan berulang kali ketika menempatkan titik di sekitar lingkaran dan titik-titik akan ditempatkan secara merata (dalam faktor konstan).

— James King

Lihat latihan 9 dari bagian 6.4 dari The Art of Computer Programming .

Setiap irasional $A$ akan berfungsi, karena memecah kesenjangan terbesar dari (Saya menggunakan notasi untuk ). $\{kA\}$ $\{A\}, \{2A\}, \ldots, \{(k-1)A\}$ $\{x\}$ $x\mod 1$

Tapi jika $A = \phi^{-1}$ atau , ia memiliki properti khusus: ini adalah satu-satunya nilai yang tak satu pun dari kedua celah yang baru dibuat ini lebih dari dua kali lipat sepanjang lain. $A = \phi^{-2}$

— Didest
sumber

Juga, ukuran celah terkecil adalah sebesar mungkin.

— Jeffε