Jawaban paling sederhana diberikan oleh fakta bahwa kalki lambda yang diketik sesuai dengan logika (kalkulus lambda yang diketik -> logika predikat; sistem f -> logika orde kedua) dan logika konsisten tidak dapat membuktikan konsistensi mereka sendiri.
Jadi misalkan Anda memiliki bilangan asli (atau Gereja yang menyandi angka-angka alami) dalam kalkulus lambda yang Anda ketik. Dimungkinkan untuk melakukan penomoran Gödel yang menetapkan setiap istilah dalam Sistem F ke bilangan alami yang unik. Kemudian, ada fungsi yang mengambil bilangan asli apa pun (yang sesuai dengan istilah yang diketik dengan baik di Sistem F) ke nomor alami lainnya (yang sesuai dengan bentuk normal dari istilah Sistem F yang diketik dengan baik) dan melakukan sesuatu yang lain untuk bilangan asli apa pun yang tidak sesuai dengan istilah yang diketik dengan baik di Sistem F (katakanlah, itu mengembalikan nol). Fungsi adalah computable, sehingga dapat dihitung dengan kalkulus lambda yang tidak diketik tetapi bukan kalkulus lambda yang diketik (karena yang terakhir akan menjadi bukti konsistensi logika urutan kedua dalamfff logika orde kedua, yang akan menyiratkan bahwa logika orde kedua tidak konsisten).
Peringatan 1: Jika orde kedua logika adalah tidak konsisten, itu mungkin mungkin untuk menulis di Sistem F ... dan / atau mungkin tidak mungkin untuk menulis dalam kalkulus lambda diketikan - Anda bisa menulis sesuatu, tetapi tidak mungkin selalu berakhir, yang merupakan kriteria "dapat dihitung".fff
Peringatan 2: Kadang-kadang dengan "kalkulus lambda yang diketikkan" berarti orang "kalkulus lambda yang diketik dengan operator titik tetap atau fungsi rekursif." Ini akan menjadi PCF lebih atau kurang , yang dapat menghitung fungsi yang dapat dihitung, seperti kalkulus lambda yang tidak diketik.