Pemisahan eksplisit antara konstruk waktu dan konstruk ruang?

Tunjukkan fungsi yang dapat dikonstruksi-ruang tetapi bukan-waktu-terstruktur. $f(n)$

Apakah masalah ini terkait dengan kemungkinan pemisahan antara kelas kompleksitas DTIME (f (n)) dan SPACE (f (n))?

cc.complexity-theory space-bounded separation

— Tian Liu
sumber

en.wikipedia.org/wiki/Constructible_function Sejauh yang saya tahu, pertanyaan ini tidak terkait dengan TIME (f (n)) vs SPACE (f (n)), tetapi perhatikan kedua kelas ini diketahui berbeda. Cari artikel "Tepat Waktu Versus Ruang", "Tepat Waktu Versus Ruang II", "Tepat Waktu Versus Ruang III"

— Ryan Williams

Pengamatan cepat: Saya pikir masalahnya setara dengan menanyakan apakah DTIME (f (n)) ∩ BENAR-BENAR dan SPACE (f (n)) ALL BENAR-BENAR bisa berbeda untuk beberapa fungsi yang dapat dibangun ruang f (n), di mana TALLY berada kelas bahasa yang merupakan himpunan bagian dari 1 ^ *.

— Tsuyoshi Ito

Ups, mungkin tidak sama. Ini adalah bukti satu arah. Jika ada bahasa L = {1 ^ n | n∈S} ∈ TALLY∩ (SPACE (f (n)) ∖ DTIME (f (n))) untuk beberapa fungsi pembangun ruang f (n), lalu f (n) dan f (n) + f (n) + χ_S (n ) (di mana χ_S (n) adalah fungsi karakteristik S) adalah ruang-konstruktif tetapi tidak keduanya-waktu-konstruktif, dan oleh karena itu setidaknya salah satu dari mereka adalah fungsi ruang-konstruktif tetapi tidak-konstruktif-waktu.

— Tsuyoshi Ito

Terima kasih kepada Ryan, dengan komentar Anda, saya tahu bahwa TIME (f (n)) terkandung dalam SPACE (f (n) / log f (n)) oleh Hopcroft et al, dan yang terakhir terkandung dalam SPACE (f (n)) )) oleh teorema hierarki ruang.

— Tian Liu

Berkat Tsuyoshi, ide-ide yang sangat pintar, jika f (n) dan f (n) + χ_S (n) keduanya dapat dikonstruksi waktu, maka kita dapat memutuskan apakah n∈S paling banyak dalam f (n) +1 waktu, dengan demikian L ∈ BENAR-BENAR ∩ DTIME (f (n)), sebuah kontradiksi. tetapi dapatkah konstruksi Anda disebut "explict"? yang mana yang tidak dapat dikonstruksi-waktu, f (n) atau f (n) + χ_S (n)? dengan "eksplisit" jika saya maksudkan bahwa kami dapat memutuskan nilai f (n) untuk semua n, maka konstruksi Anda akan dijelaskan.

— Tian Liu

Jawaban:

Suatu fungsi adalah waktu yang dapat dibangun jika ada mesin Turing yang, pada input , menghitung fungsi dalam waktu . $T \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $M$ $1^n$ $x \mapsto T(|x|)$ $O(T(n))$

Fungsi adalah ruang yang dapat dibangun jika ada mesin Turing yang, pada input , menghitung fungsi dalam ruang . $S \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $M$ $1^n$ $x \mapsto S(|x|)$ $O(S(n))$

Beberapa teks mengharuskan fungsi konstruktif waktu / ruang tidak berkurang. Beberapa teks memerlukan fungsi konstruktif waktu memenuhi , dan fungsi fungsi ruang memenuhi . Beberapa teks tidak menggunakan notasi dalam definisi. $T(n)\ge n$ $S(n)\ge \log n$ $O(\cdot)$

Bagaimanapun, mudah untuk menunjukkan bahwa setiap fungsi "biasa" , memuaskan dan adalah ruang yang dapat dikonstruksi, tetapi tidak dapat dikonstruksi dengan waktu. $f$ $f(n)\ge \log n$ $f(n) = o(n)$

Masalah konstribilitas tidak secara langsung terkait dengan kemungkinan pemisahan antara kelas kompleksitas DTIME (f (n)) dan SPACE (f (n)). Namun, pernyataan teorema hierarki waktu dan ruang menggabungkan konstrukibilitas. Sebagai contoh:

Teorema Hierarki Waktu Jika , adalah fungsi yang dapat dikonstruksi waktu yang memuaskan , maka adalah himpunan bagian yang tepat dari . $f$ $g$ $f(n)\log f(n) = o(g(n))$ $\mathbf{DTIME}(f(n))$ $\mathbf{DTIME}(g(n))$

Lihat buku Arora & Barak atau Papadimitriou untuk informasi lebih lanjut. (Yang terakhir menggunakan istilah "fungsi kompleksitas yang tepat" untuk merujuk ke salah satu yang baik ruang dan waktu dibangun.)

— MS Dousti
sumber

Terima kasih. Saya lebih suka definisi bahwa fungsi adalah waktu / ruang-dibangun jika ada mesin Turing yang berjalan tepat langkah / kotak kaset. Tentu saja, dengan teorema percepatan waktu / ruang linear, ini setara dengan definisi / buku teks Anda.

— Tian Liu

Sadeq, definisi Anda untuk "konstruktif waktu" dan "konstruktif ruang" identik dengan kata demi kata. Apakah Anda mengatakan bahwa ini hanya dua nama yang berbeda untuk konsep yang persis sama? Jika tidak, mungkin Anda harus memperbaiki definisi Anda.

— Yitz

Itu hanya kesalahan ketik.

— Tsuyoshi Ito

Maaf yitz Saya memperbaiki kesalahan ketik.

— MS Dousti

adalah ruang yang dapat dibangun tetapi tidak dapat dibangun untuk waktu. Alasannya adalah bahwa Anda dapat memetakan ke representasi biner di ruang tetapi tidak dalam waktu . $f(n)=\log n$ $1^n$ $O(\log n)$ $O(\log n)$

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

Terima kasih atas komentar dan jawabannya. Tetapi bisakah Anda menunjukkan fungsi f (n) yang paling tidak linear, yaitu, f (n)> = n, untuk pemisahan? Tampaknya fungsi yang dibangun oleh waktu tidak boleh kurang dari n karena alasan yang jelas: harus membaca semua bit input, jika tidak argumen musuh dapat menunjukkan bahwa fungsi tersebut tidak dihitung dengan benar.

— Tian Liu

@Tian,

adalah fungsi yang bisa dibangun ruang tetapi bukan fungsi untuk waktu.

f (n) = n

$f(n)= n$

— Mohammad Al-Turkistany

Terima kasih lagi, tetapi apakah Anda berasumsi bahwa read-head pada tape input awalnya terletak di sebelah kiri ke bit pertama input? dalam hal ini, untuk mendeteksi bit input terakhir, kepala harus bergerak ke kanan n +1 kali hingga memenuhi kosong pertama setelah input. Kemudian

adalah waktu-constructible. Jadi tolong beri pemisahan "non-trival" dengan fungsi f (n)> = n +1?

f (n) = n + 1

$f(n)=n+1$

— Tian Liu

Jika semua fungsi ruang-constructible adalah waktu-constructible, maka . Untuk membuktikan bahwa (dan untuk memberikan contoh fungsi ruang-non-sepele yang dapat dibangun tetapi mungkin bukan fungsi yang dapat dibangun-waktu), mari kita ambil yang sewenang-wenang (mungkin ) masalah $EXP-TIME=EXP-SPACE$ $EXP-SPACE-COMPLETE$ , . Lalu ada sebuah , st dapat diselesaikan oleh DTM di ruang. Sekarang tentukan fungsi $L\in EXP-SPACE$ $L\subseteq\{0,1\}^*$ $k\in\mathbb{N}$ $L$ $M$ $2^{n^k}$

f (n) = {\begin{cases} 8 n + 2 & jika (pertama ⌊ \sqrt[k]{⌊ catatan n ⌋ + 1} ⌋ bit b saya n (n)) \in L. \\ 8 n + 1 & lain \end{cases}

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$

$2n$ $f$ $f$ $L$

Jawaban ini menggunakan ide yang sama.

— David G
sumber