Apa gunanya memanggil

Apa perbedaan memanggil -calculus sebagai aljabar dan bukannya kalkulus? Saya mengajukan pertanyaan ini karena saya membaca suatu baris " -calculus bukan kalkulus tetapi aljabar" (iirc, dikaitkan dengan Dana Scott). Apa intinya? Terima kasih.$\lambda$$\lambda$

Kalkulus adalah sistem perhitungan berdasarkan manipulasi ekspresi simbolik. Aljabar adalah sistem ekspresi simbolik dan hubungan di antara mereka [*]. Artinya, kalkulus adalah sistem untuk mencari tahu jawaban, dan aljabar adalah cara untuk mengekspresikan hubungan antara istilah.

The kalkulus adalah baik kalkulus atau aljabar, tergantung pada apakah Anda ingin memikirkan dan aturan sebagai aturan pengurangan berorientasi atau persamaan unoriented. Jika Anda menganggap aturan sebagai berorientasi, maka Anda telah memperbaiki urutan evaluasi, dan aturan tersebut memberi tahu Anda cara mengambil istilah dan menghasilkan formulir yang normal. Jika Anda menganggap aturan sebagai tidak berorientasi, maka mereka memberi Anda relasi kesetaraan pada -terms.β η $\lambda$$\beta$$\eta$$\lambda$

[*] Ada juga definisi aljabar, yang merupakan definisi formal yang agak lebih ketat daripada gagasan informal. Secara longgar, perbedaannya adalah bahwa definisi formal dari aljabar hanya mencakup sistem-sistem tersebut tanpa pengikatan variabel. Jadi kombinator SKI membentuk aljabar, tetapi -calculus tidak.$\lambda$

Secara tradisional, aljabar adalah perangkat pembawa dengan operasi yang memenuhi beberapa persamaan (pikirkan "grup"). Ada banyak cara di mana gagasan itu dapat digeneralisasi:

• aljabar multi- sortir memiliki beberapa set pembawa. Contohnya adalah modul atas cincin R , di mana kita ingin menganggap semuanya sebagai aljabar tunggal. Contoh lain, yang agak konyol, adalah grafik berarah, yang memiliki dua set pembawa, E tepi dan V simpul, dan dua operasi, sumber s : E → V dan target E → V , tidak memenuhi persamaan.$M$$R$$E$$V$$s : E \to V$$E \to V$

• aksioma yang lebih umum yang bukan hanya persamaan mungkin diizinkan. Misalnya, aksioma untuk bidang adalah semua persamaan kecuali untuk . Contoh lain adalah sesuatu seperti domain integral.$x \neq 0 \implies x \cdot x^{-1} = 1$

• operasi yang lebih umum dapat diizinkan, khususnya yang arity tak terbatas, atau operasi tingkat tinggi yang berfungsi sebagai argumen. Contoh operasi infinitary adalah dalam aljabar titik tengah Martin Escardo dan Alex Simpson. Jika Anda pergi jauh ke arah ini, Anda tiba di monads.$M$

Dalam pengertian ini, -kalkus yang tidak diketik adalah aljabar karena ia ditentukan dalam istilah pembawa yang diatur dengan beberapa operasi (orde tinggi) yang memenuhi beberapa persamaan ( β dan η ).$\lambda$$\beta$$\eta$

Ada definisi yang cukup tepat tentang apa aljabar dalam teori kategori: lihat artikel ini misalnya. Butuh beberapa tahun untuk memahami bagaimana struktur dengan variabel terikat dapat dipahami dalam konteks yang sama dengan istilah struktur aljabar yang biasa digunakan dalam matematika dan ilmu komputer, dan ternyata konsep kategorikal F-aljabar mampu menyatukan dua. Saya tidak yakin tentang aspek historis dari solusi tetapi satu pendekatan yang mungkin adalah aljabar presheaf yang diperkenalkan oleh Fiore, Plotkin dan Turi (tersedia di sini ) menyelesaikan pertanyaan dan mendorong pendekatan yang berbeda tetapi serupa, lihat misalnya Hirshowitz et al. dan siswa doktornya Julianna Zsido .

$\lambda$

Meskipun benar bahwa gagasan "kalkulus" kurang terdefinisi dengan baik daripada gagasan "aljabar", secara luas "kalkulus" umumnya menyiratkan proses perhitungan, sementara aljabar memiliki pola konstruksi dengan teori-teori persamaan.
Anda bisa mengatakan ada lebih banyak perasaan bahwa aljabar "sudah ada" sebagai struktur dan kita hanya mengungkap kebenaran tentang mereka, daripada menggunakan beberapa metode untuk menghasilkan jawaban baru yang tidak ada sebelumnya.

Jika Anda berpikir tentang apa yang Scott coba capai dengan domain Scott, pernyataannya masuk akal: ia mencoba menemukan struktur matematika dan aljabar yang telah ditetapkan yang akan berfungsi sebagai semantik tetap untuk LC. Dia ingin menghilangkan perasaan bahwa makna suatu istilah adalah apa pun yang terjadi karena proses tertentu.

Anda mungkin tertarik pada jawaban sebelumnya tentang pertanyaan terkait: Apa yang dimaksud dengan semantik denotasional?

$\beta$$\eta$$M$$N$

Jika Scott pernah menyebut lambda calculus sebagai "aljabar" (yang saya agak ragu), maka ia akan membuat poin yang agak halus, yaitu, bahwa Anda dapat menganggap lambda calculus memiliki makna apriori .

Tetap saja ia akan kesulitan meyakinkan aljabar apa pun dari klaimnya, karena ia tidak memiliki persamaan dalam kalkulus lambda, ia memiliki persamaan (yaitu, pada tingkat meta). "Aljabar kombinasi", di sisi lain, sangat normal.

Tidak ada yang namanya kalkulus , tetapi ada objek matematika yang didefinisikan dengan baik yang disebut aljabar , meskipun kata itu memiliki banyak kegunaan . Namun, tebakan saya adalah bahwa nama itu diberikan dalam arti

(...) studi abstrak sistem bilangan dan operasi di dalamnya.

$\lambda$