Solow Model: Steady State v Balanced Growth Path

11

Oke, jadi saya mengalami masalah nyata yang membedakan antara konsep Steady State dan jalur pertumbuhan seimbang dalam model ini:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

Saya telah diminta untuk mendapatkan nilai kondisi mapan untuk modal per pekerja efektif:

k^{*} = {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

Serta rasio steady state modal terhadap output (K / Y):

\frac{K^{S S}}{Y^{S S}} = \frac{s}{n + g + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

Saya menemukan kedua denda ini, tetapi saya juga diminta untuk menemukan "nilai kondisi-mapan dari produk marjinal modal, dY / dK". Inilah yang saya lakukan:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M P K = \frac{d Y}{d K} = β K^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

Mengganti dalam untuk K dalam kondisi mapan (dihitung saat mengerjakan kondisi mantap untuk rasio K / Y di atas):

K^{S S} = A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = β (A L)^{1 - β} {[A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = β {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

Pertama saya perlu tahu apakah perhitungan untuk nilai steady state MPK ini benar?

Kedua, saya telah diminta untuk membuat sketsa jalur waktu dari rasio modal-output dan produk marjinal modal, untuk ekonomi yang konvergen ke jalur pertumbuhan seimbang "dari bawah".

Saya mengalami masalah memahami dengan tepat seperti apa jalur pertumbuhan yang seimbang itu, yang bertentangan dengan kondisi mapan, dan bagaimana menggunakan perhitungan saya untuk mengetahui seperti apa grafik ini.

Maaf untuk pos raksasa, bantuan apa pun sangat dihargai! Terima kasih sebelumnya.

— James Baker
sumber

14

Ini adalah saat upaya akurasi menciptakan kebingungan dan kesalahpahaman.

Kembali pada hari itu, model pertumbuhan tidak menggabungkan kemajuan teknologi, dan menyebabkan keseimbangan jangka panjang yang ditandai dengan besaran konstan per kapita. Secara verbal, istilah "kondisi-mapan" tampaknya cocok untuk menggambarkan situasi seperti itu.

Kemudian Romer dan model pertumbuhan endogen muncul, yang juga mendorong model lama untuk mulai termasuk sebagai fitur rutin faktor pertumbuhan eksogen (terlepas dari populasi). Dan "tiba-tiba", istilah per kapita tidak konstan dalam ekuilibrium jangka panjang, tetapi tumbuh pada tingkat yang konstan . Awalnya literatur menggambarkan situasi seperti itu sebagai "kondisi stabil dalam tingkat pertumbuhan".

Maka nampaknya profesi berpikir sesuatu seperti "tidak akurat untuk menggunakan kata" mantap "di sini karena besaran per kapita tumbuh. Yang terjadi adalah semua besaran tumbuh pada tingkat yang seimbang (yaitu pada tingkat yang sama, dan sehingga rasio mereka tetap konstan) Dan sejak mereka tumbuh, mereka mengikuti jalan ... "Eureka !: istilah" jalur pertumbuhan seimbang "lahir.

... Untuk frustrasi siswa (setidaknya), yang sekarang harus mengingat bahwa misalnya, "jalur pelana" memang merupakan jalur dalam diagram Fase, tetapi "jalur pertumbuhan seimbang" hanyalah satu poin! (karena untuk benar-benar menggambar diagram Fase dan mendapatkan keseimbangan jangka panjang yang baik, kami menyatakan besaran per pekerja yang efektif, dan besaran ini memang memiliki kondisi mapan tradisional. Tetapi kami terus menyebutnya "jalur pertumbuhan seimbang", karena besaran per kapita, yang kami minati, dalam pendekatan individualistis kami, terus tumbuh).

Jadi "jalur pertumbuhan seimbang" = "keadaan mantap besaran per unit efisiensi tenaga kerja", dan saya kira Anda bisa mengetahui sisanya untuk diagram fase Anda.

— Alecos Papadopoulos
sumber

4

Setelah percakapan dengan pengguna @denesp di komentar dari jawaban saya sebelumnya, saya harus mengklarifikasi berikut ini: perangkat grafis yang biasa kita gunakan terkait dengan model pertumbuhan Solow dasar (lihat contoh di sini , gambar 2) bukan diagram fase, karena secara wajar kami menyebutnya "diagram fase" yang mengandung lokus perubahan-nol, mengidentifikasi titik-titik persimpangannya sebagai titik-titik tetap dari sistem dinamis, dan memeriksa sifat kestabilannya. Dan ini bukan yang kami lakukan untuk model Solow. Jadi itu adalah penggunaan terminologi yang ceroboh dari bagian saya.

$(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{k} = s y - (n + δ + g) k

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{y} = f_{k}^{'} (k) \cdot \dot{k}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$

\dot{k} \geq 0 ⟹ y \geq \frac{n + δ + g}{s} k

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{y} \geq 0 ⟹ \dot{k} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

$(y,k)$

$y$ $k$ $y$ $k$

— Alecos Papadopoulos
sumber