Kondisi Pesanan Pertama untuk Maksimalisasi Keuntungan dalam Industri Perjudian

Saya sedang mengerjakan model persentase pembayaran optimal di industri perjudian.

Karena harga nominal tiket $ 1 selalu $ 1, kami menggunakan strategi harga yang efektif di mana Q = $ 1 dalam hadiah yang dimenangkan. Jika sebuah game membayar 50%, harga efektifnya adalah $ 2, karena itulah yang harus dikeluarkan untuk memenangkan hadiah $ 1 yang diharapkan . Cukup sederhana, bukan?

Yah, saya menemukan catatan kaki ini dalam beberapa penelitian, dan tidak bisa mengetahui bagaimana mereka sampai pada Kondisi Orde Pertama untuk Maksimalisasi Keuntungan dari persamaan pertama:

"Misalkan $C(Q)$ mewakili biaya operasi sebagai fungsi dari unit kuantitas, di mana satu unit kuantitas didefinisikan sebagai satu dolar dalam nilai hadiah yang diharapkan.

Keuntungan bersih agen lotere diberikan oleh

N = P Q - Q - C (Q)

$N = PQ - Q - C(Q)$

di mana $P$ adalah harga yang dikenakan untuk unit kuantitas.

Kondisi orde pertama untuk maksimalisasi laba dapat ditulis

- E_{P Q} = P (1 - C^{'}) / [P (1 - C^{'}) - 1]

$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$

Jika biaya operasi marjinal adalah persen dari penjualan dan tingkat pembayaran adalah persen, kita memiliki dan , menyiratkan bahwa elastisitas harga permintaan dengan laba maksimum adalah . $6$ $50$ $P = 2$ $C' = .12$ $-2.3$

Untuk peningkatan tingkat payout untuk meningkatkan keuntungan, harus melebihi dalam nilai mutlak." $E_{PQ}$ $2.3$

- [Kutipan] Clotfelter, Charles T, dan Philip J Cook. "Tentang Ekonomi Lotere Negara." Jurnal Perspektif Ekonomi: 105-19.

Dalam persamaan FOC, adalah elastisitas harga efektif permintaan. Itu biasanya akan ditemukan dengan mengambil turunan dari sehubungan dengan dalam persamaan pertama. $-E_{PQ}$ $P$ $Q$

Bagaimana mereka berakhir di tempat mereka melakukannya? Pasti ada sesuatu yang saya lewatkan.

Saya mengalami kesulitan memahami bagaimana kondisi Orde Pertama tertentu tercapai - apakah itu merupakan hasil dari beberapa proses turunan pada persamaan Pendapatan Bersih, atau jika itu hanya kondisi eksternal yang diterapkan.

Terima kasih!

— datahappy
sumber

Yay! MathJax bekerja :-)

— LateralFractal

$11$ $P$ $P$ $Q$ $Q$ $P$

E_{P Q} = \frac{d Q / d P}{Q} P

$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$

dan kami mengharapkannya negatif (harga yang lebih tinggi berarti tingkat pembayaran yang lebih rendah yang mengarah pada berkurangnya permintaan untuk ukuran kuantitas di sini, yaitu lebih sedikit "permintaan untuk hadiah").

max_{P} N = max_{P} [P \cdot Q (P) - Q (P) - C (Q (P))]

$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$

Kondisi orde pertama adalah

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial N}{\partial P} = Q + P \cdot Q^{'} - Q^{'} - C^{'} \cdot Q^{'} = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$

Kalikan seluruh dengan : $P/Q$

Q \frac{P}{Q} + P \cdot Q^{'} \frac{P}{Q} - Q^{'} \frac{P}{Q} - C^{'} \cdot Q^{'} \frac{P}{Q} = 0

$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$

\Rightarrow P + P \cdot E_{P Q} - E_{P Q} - C^{'} \cdot E_{P Q} = 0

$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow - E_{P Q} = \frac{P}{P - 1 - C^{'}} \end{matrix}

$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$

Ini masuk akal. Memasukkan nilai-nilai yang disajikan dalam referensi, kami miliki

- E_{P Q} = \frac{2}{2 - 1 - .12} = \frac{2}{0.88} \approx 2.27

$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$

yang sangat dekat dengan nilai yang dihasilkan dari persamaan yang disajikan oleh penulis. Saya belum bisa, dengan manipulasi aljabar apa pun yang saya coba, untuk mereplikasi formula mereka, tetapi persamaan benar dalam hal apa pun. Jika rekonsiliasi muncul, saya akan memperbarui. $(2)$

— Alecos Papadopoulos
sumber

Fantastis. Di sinilah saya berakhir juga. Permintaan maaf karena tidak memasukkan pekerjaan saya sebelumnya dalam pertanyaan (saya harus ingat untuk melakukan itu).

— datahappy

Saya mengirim email kepada penulis surat kabar - jika mereka merespons pada titik mana pun, saya akan menambahkan alasan mereka sebagai jawaban lain ... Saya akan menunggu untuk menandai Anda sebagai jawaban untuk memberi waktu kepada orang lain untuk menjawab karena kami masih dalam tahap beta. :)

— datahappy

Tentu Anda harus menunggu. Kami ingin lebih dari satu jawaban per pertanyaan!

— Alecos Papadopoulos