Utilitas Quasilinear: Optimalitas Pareto Mengimplikasikan Pemaksimalan Utilitas Total?

Saya membaca bahwa jika kita memiliki utilitas sekitarku untuk semua konsumen, maka setiap alokasi optimal pareto memaksimalkan jumlah tingkat utilitas semua konsumen. Itu adalah:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

Adakah yang bisa memberikan bukti tentang ini? Bantuan apa pun akan sangat dihargai!

$\textbf{Edit:}\,$ saya tidak tahu apakah ini jalan yang benar, tetapi dengan properti semakin ketat $\phi(\,)$ , preferensi memuaskan non-kekenyangan lokal, yang menyiratkan bahwa mereka memenuhi teorema kesejahteraan pertama. Sekarang, Jika saya bisa mengetahui apakah semua alokasi optimal pareto adalah keseimbangan kompetitif dengan utilitas quasilinear, saya mungkin akan menemukan sesuatu!

microeconomics pareto-efficiency proof

— DornerA
sumber

Apakah Anda yakin bahwa under sama dengan under ? Kendala anggaran / sumber daya tampaknya tidak ada. Dan dengan itu, Anda harus bisa mendapatkan apa yang Anda inginkan dengan menjumlahkan ketidaksetaraan dalam (3) lebih dari .

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

— Herr K.

@HerrK. Itu poin yang sangat baik dan kesalahan yang agak memalukan oleh saya, saya akan mengubahnya

— DornerA

Apakah ada properti untuk fungsi X? Sebagai contoh, jika itu benar-benar meningkat tetapi cekung maka alokasi PO di mana satu agen mengambil total endowmen harus menghasilkan utilitas total kurang yang membagi alokasi itu secara merata antara dua agen.

— 123

@ 123 tidak ada asumsi lain tentang selain yang tercantum di atas

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

— DornerA

Jawaban:

Sunting: Kasus tepi mengisap; lihat komentar. Lihat juga MWG Bab 10 bagian C, D.

Misalkan terpecahkan $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

tetapi Pareto tidak optimal.

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

yang merupakan kontradiksi. Jika kita memiliki solusi untuk masalah maksimisasi utilitas, Pareto harus optimal.

(Perhatikan bahwa ini datang dari properti terus menerus dan meningkat dari ) $\phi(\cdot)$

Misalkan adalah alokasi optimal Pareto yang layak, tetapi tidak menyelesaikan $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

Karena kami memperlakukan sebagai numeraire dan benar-benar meningkat, kami tahu secara lokal tidak puas. Alokasi Pareto seharusnya layak. $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

Jika ini benar karena alokasi alternatif ini hanya memberikan individu lebih dari , untuk semua yang lain sama, maka alokasi alternatif tidak layak. Jadi kita akan memiliki kontradiksi. $x$

Jika ini benar karena dalam alokasi alternatif, orang lain dialokasikan lebih dan hanya satu orang lainnya yang dialokasikan lebih sedikit, maka alokasi asli tidak akan optimal Pareto. Misalkan itu. Jika Anda mengambil alokasi asli dan menggeser di jalan alokasi baru, maka Anda akan membutuhkan perdagangan yang sesuai dalam barang angka, , untuk menjaga siapa pun yang kehilangan setidaknya pada tingkat utilitas yang sama. Tapi perdagangan hanya dalam numeraire baik tidak pernah bisa berubah disimpulkan utilitas agregat . Dari alokasi asli, jika Anda dapat berdagang untuk $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ dan make seseorang lebih baik tanpa menyakiti siapa pun, Anda tidak di Pareto optimal, dan jika Anda tidak dapat perdagangan untuk untuk membuat seseorang lebih baik, Anda tidak dapat meningkatkan disimpulkan utilitas agregat, yang berarti alokasi asli adalah solusi untuk masalah maksimalisasi. $m$ $x$

Logika ini berlaku tidak peduli bagaimana Anda mengatur ulang antara banyak orang. $x$

$\square$

— Kavaleri Kitsune
sumber

Saya melihat bahwa OP menerima jawaban ini tetapi ini tidak membuktikan proposisi yang sebenarnya. OP mengklaim bahwa setiap alokasi PO menyelesaikan masalah maksimalisasi yang diberikan. Bukti ini menunjukkan bahwa solusi untuk masalah maksimalisasi adalah PO. Namun, hasil ini segera mengikuti dari fakta bahwa fungsi utilitas menjelaskan bahwa preferensi memenuhi ketidakpuasan lokal. Dan kita tahu bahwa ada tidak selalu ada penipisan antara poin CE dan PO Proposisi asli kemungkinan salah, tergantung pada pembatasan yang ditempatkan pada fungsi X. (Menggunakan ponsel sehingga sulit untuk menggunakan LaTex - maaf.)

— 123

Saya tidak berpikir proposisi ini benar dalam lingkungan ekonomi pertukaran murni standar. Berikut ini contoh contohnya: economics.stackexchange.com/a/15146/11824

— Amit

@Amit saya pikir Anda benar. Namun pernyataan itu tampaknya berlaku dengan kondisi tambahan bahwa alokasi PO adalah sedemikian rupa sehingga untuk semua konsumen : . Atau sebagai alternatif jika masalah memungkinkan nilai negatif untuk . Dalam hal ini, sampel balik Anda tidak akan menjadi PO.

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

— Giskard

@KitsuneCavalry Inilah kesalahannya: "Dari alokasi asli, jika Anda dapat berdagang untuk dan membuat seseorang menjadi lebih baik tanpa menyakiti siapa pun, Anda tidak berada pada optimal Pareto, dan jika Anda tidak dapat berdagang untuk untuk membuat seseorang yang lebih baik, Anda tidak dapat meningkatkan jumlah utilitas agregat ... "atau Anda tidak dapat melakukan perdagangan karena itu akan melanggar batasan non-negatif. Boo, penipu! : D Kembalikan 50 poin: D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

— Giskard

@denesp Saya setuju bahwa hasilnya berlaku jika kita mengizinkan menjadi bilangan real, atau hanya bilangan real positif, untuk semua .

m_{i}

$m_i$

i

$i$

— Amit

Saya tidak berpikir itu benar dalam ekonomi pertukaran murni standar yang dirujuk pertanyaannya. Pertimbangkan contoh tandingan berikut: Misalkan

$I = \{1,2\}$ dan dan . $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

dan biarkan set alokasi yang layak menjadi

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Perhatikan bahwa alokasi efisien Pareto, tetapi tidak memaksimalkan jumlah utilitas. Alasannya adalah bahwa alokasi menghasilkan jumlah yang lebih tinggi. $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

— Amit
sumber

@DornerA pendapat Anda tentang ini?

— Giskard

Saya yakin Anda merujuk pada hasil berikut: Setiap alokasi PE memaksimalkan , tetapi sulit untuk mengetahui secara tepat karena Anda tidak spesifik tentang kelayakan. $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

Biarkan saya lebih spesifik. Untuk setiap , . Alokasi adalah . Himpunan alokasi yang layak adalah . Utilitas dari adalah , di mana benar-benar meningkat. $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

Definisi alokasi PE adalah standar: adalah PE jika sehingga untuk semua dan untuk beberapa . $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

Sekarang saya mengklaim bahwa jika adalah PE maka adalah solusi untuk , atau, membuat maksimalisasi sehubungan dengan s eksplisit, st . $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

Saya tidak akan membuktikan klaim di sini, tetapi ide kuncinya sederhana dan adalah sebagai berikut. Misalkan adalah PE tetapi tidak menyelesaikan masalah maksimalisasi. Kemudian kita dapat menemukan layak lainnya sedemikian sehingga . Benar, dalam , relatif terhadap , agen datang lebih buruk, tetapi kita dapat menggunakan uang, s, untuk membuat mereka sama baiknya seperti di bawah , dan masih dibiarkan dengan sejumlah uang karena kami meningkatkan jumlah utilitas yang berasal dari s. $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

Cara lain untuk mengatakan ini adalah bahwa jumlah utilitas dari adalah . Sekarang setiap alokasi non-pemborosan akan memiliki istilah pertama yang identik. $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

Namun cara lain untuk memikirkan ini adalah bahwa s menentukan ukuran pie dan uang, s, menentukan redistribusi. Dengan kuasi-linearitas, mengurangi dengan satu unit dan meningkatkan dengan satu unit meninggalkan daun tidak berubah. Ini tidak benar untuk dan . $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

Ini juga menyiratkan bahwa yang memecahkan masalah maksimalisasi adalah PE. $a\in F$

— Jan
sumber

Sudahkah Anda membaca dua jawaban lainnya? Seseorang pada dasarnya menyatakan hal yang sama. Yang lain memberikan contoh tandingan.

— Giskard

@denesp Ya saya membaca jawabannya dan saya mengatakan hal yang berbeda. Dua jawaban berbicara tentang maksimalisasi jumlah utilitas, saya berbicara tentang maksimalisasi jumlah dari s. Dalam contoh tandingan, asumsi kritis adalah bahwa . Jika untuk , maka apa yang saya katakan berlaku. Asumsi mana yang 'standar' bisa diperdebatkan. Saya dibesarkan oleh MWG.

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

— Jan

Satu lagi komentar, Mas-Colell, Whinston, Green bab 10, terutama bagian C dan bahkan lebih khusus lagi bagian D, adalah perawatan buku teks yang bagus tentang masalah yang ditanyakan OP.

— Jan