Kondisi Cekungan Ketat Diagonal Rosen

Pertimbangkan permainan dengan pemain, dengan ruang strategi , di mana adalah set dibatasi, dan pemain fungsi hasil . Kondisi Rosen ( JB Rosen. Keberadaan dan keunikan poin keseimbangan untuk gim cekung n-orang. Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) untuk keunikan Nash Equilibrium dalam permainan pemain menyatakan bahwa equlibrium akan menjadi unik ketika $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

fungsi hasil cekung dalam strategi sendiri $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
Ada vektor ( sedemikian rupa sehingga berfungsi secara cekung diagonal $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

$N$ menunjukkan set pemain.

Untuk mendefinisikan konsep concavity ketat diagonal, tinju memperkenalkan 'pseudogradient' fungsi , didefinisikan dengan: Kemudian, function dikatakan dominan secara diagonal di untuk fixed jika untuk setiap yang berlaku sebagai berikut: $\sigma$

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

Ditunjukkan, dalam makalah yang saya kutip di awal, bahwa kondisi yang cukup untuk menjadi cekung striclty diagonal adalah matriks adalah defite negatif untuk , di mana adalah Jacobian dari pseudogradient sehubungan dengan . Saya menggunakan 'untuk menunjukkan transpose dari sebuah matriks. Apa intuisi di balik kondisi cekung ketat diagonal? $\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— Nidjsi
sumber

$\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

$\sigma$

— muxamilian
sumber

Terima kasih atas jawaban anda! Apa yang Anda tulis pada dasarnya adalah salah satu hasil di koran Rosen asli. Ketika saya mengatakan intuisi, saya maksudkan properti apa dari interaksi strategis dalam game yang ditangkap oleh kondisi cekungan yang ketat? Sebagai contoh, apakah kondisi ini mengatakan sesuatu tentang bagaimana tindakan pemain lain mempengaruhi hadiah pemain saya, atau bagaimana tindakan pemain saya mempengaruhi hadiah pemain lain dalam permainan. Maaf jika pertanyaan saya kurang jelas.

— Nidjsi