Optimalisasi terkendala: menggabungkan dua kendala menjadi satu

Pertimbangkan masalah berikut

\begin{aligned} max_{u} F (x, u) \\ s.t. & u \in [0, \bar{u}] . \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u F(x,u)\\ \text{s.t. }& u \in [0,\bar u]. \end{align}$

Adakah ide untuk menggabungkan dua batasan $u \geq 0$ dan $\bar u - u \geq 0$ menjadi satu kendala $f(u,\bar u) \geq 0$ ?

optimization

— tidak mengerti
sumber

Tentu. Tentukan fungsi

f

$f$ sehingga

f (u, \bar{u}) = - 1

$f(u,\bar{u}) = -1$ jika

u < 0

$u < 0$ atau

\bar{u} - u < 0

$\bar{u} - u < 0$ , dan jika tidak, biarkan

f (u, \bar{u}) = 0

$f(u,\bar{u}) = 0$ . Ini adalah fungsi yang didefinisikan dengan baik. Mungkin Anda ingin memasukkan bahwa

f

$f$ dapat dibedakan atau beberapa kondisi serupa.

— Giskard

0 \leq u \leq \bar{u} ⟹ - \frac{\bar{u}}{2} \leq u - \frac{\bar{u}}{2} \leq \frac{\bar{u}}{2}

$0\leq u \leq \bar u \implies -\frac {\bar u}{2} \leq u - \frac {\bar u}{2} \leq \frac {\bar u}{2}$

⟹ | u - \frac{\bar{u}}{2} | \leq \frac{\bar{u}}{2}

$\implies \left | u - \frac {\bar u}{2}\right| \leq \frac {\bar u}{2}$

⟹ \frac{\bar{u}}{2} - | u - \frac{\bar{u}}{2} | \geq 0

$\implies \frac {\bar u}{2} - \left | u - \frac {\bar u}{2}\right| \geq 0$

TAMBAHKAN Dalam komentar disarankan agar kita dapat menggunakan ekspresi kuadrat untuk mencapai diferensiasi di mana-mana,

\frac{{\bar{u}}^{2}}{4} - {(u - \frac{\bar{u}}{2})}^{2} \geq 0

$\frac {\bar{u}^2}{4} - \left ( u - \frac {\bar u}{2}\right)^2 \geq 0$

Mari kita lihat: kita kemudian diizinkan untuk menguraikan kotak dan menulis

\frac{{\bar{u}}^{2}}{4} - u^{2} + u \bar{u} - \frac{{\bar{u}}^{2}}{4} \geq 0

$\frac {\bar{u}^2}{4} - u^2 + u\bar u - \frac {\bar{u}^2}{4} \geq 0$

⟹ - u^{2} + \bar{u} u \geq 0 ⟹ u (\bar{u} - u) \geq 0

$\implies -u^2 + \bar u u \geq 0 \implies u(\bar u -u) \geq 0$

yang tidak lebih dari perkalian dua kendala yang terpisah.

ADDENDUM II
Jika kita memiliki untuk sembarang real, maka ungkapan umum adalah $u \in [a,b]$ $a<b$

- u^{2} + (a + b) u - a b \geq 0

$-u^2+(a+b)u-ab\geq 0$

— Alecos Papadopoulos
sumber

Bagus! Tetapi bahkan lebih baik karena dapat dibedakan di mana-mana, bahkan di .

\frac{{\bar{u}}^{2}}{4} - {(u - \frac{\bar{u}}{2})}^{2} \geq 0

$\frac {\bar{u}^2}{4} - \left ( u - \frac {\bar u}{2}\right)^2 \geq 0$

u = \frac{\bar{u}}{2}

$u = \frac {\bar u}{2}$

— Giskard

@denesp Dengan segala cara - dan itu menjadi lebih baik.

— Alecos Papadopoulos

Terima kasih kawan Apakah ini kebetulan bahwa itu hanya penggandaan dari dua kendala yang terpisah, atau aturan umum?

— mengerti

@AlecosPapadopoulos Dekomposisi yang bagus tetapi sebenarnya Anda baru saja menunjukkan bahwa semua aturan kami sejauh ini salah :) Kondisi baru Anda juga berlaku jika DAN :( Jika tidak mungkin maka kami baik-baik saja. .

u < 0

$u < 0$

\bar{u} < u

$\bar u < u$

\bar{u} < 0

$\bar u < 0$

— Giskard

@denesp Ketidaksetaraan ini tidak bisa bertahan pada saat yang bersamaan.

— Alecos Papadopoulos