Metode pengganda Lagrange dengan variabel acak


3

Saya akan menggambarkan masalah yang saya alami dengan masalah sederhana.

Biarkan , dan Z sebagai variabel acak bernilai nyata. Biarkan u : RR menjadi fungsi yang dapat dibedakan, dan f ( c 1 , Z ) menjadi fungsi bernilai nyata yang dapat dibedakan sehubungan dengan c 1 .c1,c2RZu:RRf(c1,Z)c1

Masalahnya adalah: Maksimalkan: sedemikian rupa sehingga c 2 = f ( c 1 , Z )u(c1)+E[u(c2)]c2=f(c1,Z)

Masalah ini mudah diselesaikan dengan substitusi langsung, dan jawabannya adalah

u(c1)+E[u(f(c1,Z))f(c1,Z)c1]=0

Masalahnya adalah bagaimana menuliskan Lagrangian yang ekstremnya sesuai dengan solusi masalah ini dengan cara biasa.

Insting pertama saya adalah menulis .L=u(c1)+E[u(c2)]+λ(c2f(c1,Z))

Namun, ini sepertinya tidak masuk akal. Jika Anda memperlakukan seolah-olah itu adalah variabel acak, maka turunan dari E [ u ( c 2 ) ] sehubungan dengan c 2 memberikan nol, dan ini tidak mungkin memberikan jawaban yang benar. Di sisi lain, tidak masuk akal untuk memperlakukannya sebagai non-stokastik juga, karena 'dipaksa' untuk menjadi stokastik oleh kendala tersebut.c2E[u(c2)]c2

Pertanyaan: Bagaimana cara saya menulis Lagrangian yang benar-benar sesuai dengan solusi masalah optimasi di atas?


Anda bisa mengambil harapan dari segalanya.
VCG

Saya khawatir itu juga tidak berhasil.
bobhawke

Harapan tersebut dapat ditulis sebagai integral mungkin, dan kemudian aturan integral Leibniz dapat diterapkan.
Kitsune Cavalry

Itu juga tidak berhasil.
bobhawke

Untuk repliers masa depan: Dalam jawaban yang dihapus OP mengatakan dia lupa loginnya. Karenanya tidak ada jawaban yang akan diterima. Contoh malang lainnya adalah bahwa OP terus mengulangi "tidak berhasil" daripada menjelaskan mengapa ia berpikir demikian. Ini disayangkan karena saya pikir jawaban Alecos adalah jawaban yang benar dan bahwa OP memperlakukan turunan variabel acak dengan cara yang agak aneh.
Giskard

Jawaban:


3

c2E[u(c2)]c2

Mengapa? Pernyataan seperti itu tidak mengikuti dari mana pun. Kehalusannya terletak di tempat lain. Masalah dengan Lagrangian dipertimbangkan oleh OP

L=u(c1)+E[u(c2)]+λ(c2f(c1,Z))

Zc1

Sekarang, apakah kita / dapatkah kita memaksimalkan variabel acak? Ya, tidak, karena karakteristik penting dari variabel acak adalah bahwa itu adalah fungsi yang nilainya tidak dapat ditetapkan oleh perintah dan kontrol.

Tetapi orang bisa mengatakan "ok, mari kita berpura-pura bahwa Lagrangian ini bukan variabel acak, dan cukup tuliskan syarat untuk maksimalisasi, meskipun kita tahu bahwa kita tidak bisa memaksakan solusi".

Tetapi ini tidak akan berhasil: jika seseorang mencoba untuk melakukannya pada akhirnya akan diperoleh

u(c1)+E[u(f(c1,Z))]f(c1,Z)c1=0

yang tidak sama dengan kondisi yang diperoleh melalui substitusi langsung, karena di sini turunan parsial berada di luar nilai yang diharapkan.

(bagi mereka yang mungkin berpikir "hei, lalu bagaimana kita menerapkan prosedur maksimalisasi dalam pendekatan kemungkinan maksimum" jawabannya adalah bahwa, tidak ada yang acak lagi ketika kita menerapkan langkah-langkah maksimalisasi).


3

d E(c2)d c2=0
Xn
E(nX)=n72.
d E(nX)d n=0

0

Jawab dulu:

g(y)c2c1

L(c1,g)=u(c1)+u(x)g(x)dx+λ(y)[g(y)η(c1,y)]dy.

η(c1,y)f(c1,Z)λ(y)g(y)=η(c1,y)R

u(c1)c1λ(y)η(c1,y)dy=0,u(y)+λ(y)=0,g(y)η(c1,y)=0.

Menggabungkan dua yang pertama memberi

u(c1)+c1u(y)η(c1,y)dy=0.

Sekarang menggunakan 'hukum ahli statistik bawah sadar' memberi

u(c1)+c1u(f(c1,z))ϕ(z)dz=0u(c1)+u(f(c1,z))f(c1,z)c1ϕ(z)dz=0.
ϕ(z)Z

Sekarang saya ingin membahas beberapa hal lain. Idealnya saya melakukan ini dalam komentar, tetapi saya tidak memiliki reputasi yang cukup untuk berkomentar.

Pertama-tama, saya OP. Saya benar-benar bingung mengapa saya tidak bisa masuk dengan kredensial asli. Masih berusaha mencari tahu itu.

Seperti yang ditunjukkan denesp, saya menulis jawaban belum lama ini yang langsung saya hapus. Saya melakukan ini karena beberapa alasan:

  1. Saya sebenarnya tidak menjawab pertanyaan di pos itu.
  2. Saya berada di bus pada saat itu, mengetik di ponsel saya. Format yang saya miliki tidak benar, dan kata-katanya sangat longgar. Saya ingin mengambil lebih banyak waktu untuk itu dan memberikan jawaban yang lebih baik dan lebih tepat. Jadi, misalnya, beberapa komentar denesp diarahkan pada kata-kata yang tidak tepat dalam posting yang saya hapus.

Untuk membahas komentar denesp pada posting asli: Saya berkomentar secara singkat bahwa semuanya tidak berhasil karena

  1. Saya pikir itu sangat jelas mengapa hal-hal yang disarankan tidak berhasil.
  2. Saya tidak berpikir posting yang menjelaskan mengapa mereka tidak bekerja dengan banyak matematika sesuai untuk komentar

'Jawaban' Alecos sama sekali bukan jawaban. Mungkin lebih baik dibaca sebagai perluasan mengapa pendekatan naif dalam posting asli tidak bekerja.

Sekarang izinkan saya membahas masalah diferensiasi. Memang benar bahwa saya tidak tepat dalam posting asli, tetapi ini untuk menggambarkan pendekatan naif yang saya ambil dan mengapa itu tidak berhasil.

f:RRff

Rff


c2c2f(c1,Z)c2f(c1,Z)

g(y)c2η(c1,y)f(c1,Z)

1
Memang sistem tampaknya berfungsi. Jawaban Anda menjawab pertanyaan yang berbeda dari yang diposting, jadi meskipun terhubung erat, itu bukan jawaban untuk pertanyaan yang diajukan. Jawaban saya adalah jawaban karena ini menjelaskan mengapa kita tidak bisa menggunakan bahasa Lagrangian dalam keadaan yang ditentukan dalam pertanyaan.
Alecos Papadopoulos

1
c2=f(c1,Z)c2=f(c1,Z)

1
g
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.