dominasi stokastik orde kedua tanpa mean yang sama

Biarkan dan menjadi dua distribusi dengan rata-rata yang sama. dikatakan sebagai urutan kedua yang secara stokastik mendominasi ( SOSD ) jika untuk semua peningkatan dan cekungan . $F$ $G$ $F$ $G$

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$

u (\cdot)

$u(\cdot)$

Definisi di atas ini setara dengan

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

Saya diberitahu bahwa persyaratan untuk dan untuk memiliki rata-rata yang sama tidak benar-benar diperlukan. Misalkan dan yang tidak memiliki mean yang sama. Bisakah kita masih memiliki kesetaraan antara dan ? $F$ $G$ $F$ $G$ $(1)$ $(2)$

NB Saya bisa menunjukkan tanpa kondisi rata-rata yang sama, tetapi tidak sebaliknya. $(2)\Rightarrow (1)$

microeconomics probability

— Herr K.
sumber

Biarkan yang meningkat dan cekung. Kemudian kondisi mendefinisikan SOSD berbunyi $u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

..yang akan bertentangan dengan kasus yang akan diizinkan di bawah postulat "cara yang berbeda" umum. Di sisi lain, kita melihat bahwa kondisi "rata-rata yang sama" dapat dilanggar oleh kondisi penetapan untuk SOSD itu sendiri. Apa artinya itu bagi kita? $E_F(X) < E_G(X)$

1) Bahwa adalah kondisi yang diperlukan untuk untuk SOSD . $E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

2) ... Dan agar persyaratan " dan memiliki rata-rata yang sama" secara salah membatasi penerapan konsep SOSD. $F$ $G$

— Alecos Papadopoulos
sumber