Kurva indiferen yang tipis

Jika seorang konsumen mengikuti aksioma rasionalitas kontinuitas (yaitu tidak ada lompatan dalam preferensi nya), kurva ketidakpedulian fungsi utilitas dikatakan tipis.

Mengapa kontinuitas ( sedemikian sehingga | z | ≥ y ∀ ϵ > 0 ) menyiratkan kurva indiferen yang tipis?$x \succeq y \Rightarrow \exists \space z=x+\epsilon$$|z|\ge y \space \forall \epsilon > 0$

Saya rasa kontinuitas saja tidak cukup untuk menjamin kurva indiferensi yang tipis.

Pertimbangkan preferensi sedemikian rupa sehingga, untuk setiap dan y dalam set pilihan, konsumen tidak peduli antara x dan $x$$y$$x$$y$ . Sepertinya ini harus sesuai dengan definisi kurva indiferens yang tebal karena seluruh pilihan terletak pada kurva indiferen tunggal!

Tetapi preferensi ini juga memenuhi definisi kesinambungan Anda.

Dengan demikian, sepertinya kontinuitas hanya menyiratkan kurva indiferensi yang tipis jika dipasangkan dengan beberapa asumsi lain.

Pertama-tama, saya pikir pertanyaannya salah. Karena jika definisi kurva indiferensi yang tipis adalah sedemikian sehingga kontinuitas preferensi konsumen menyiratkan kurva indiferen yang tipis, maka, tentu saja, kontinuitas menyiratkan kurva indiferen yang tipis ... Ini menjawab pertanyaan Anda.

Namun, jika kita ingin membuat definisi yang cocok dari kurva indiferensi yang tipis, pertama-tama kita dapat mengatakan bahwa adalah kurva indiferens yang tebal , di mana Δ adalah himpunan kumpulan yang mungkin, dan di mana ∼ menunjukkan ketidakpedulian, setiap kali ada q ′ ∈ [ q ] dan a ϵ > 0 sehingga p ∈ N ϵ ( q ′ ) menyiratkan p

$$[q]=\{p\in\Delta|p\sim q\}$$ $\Delta$$\sim$$q'\in [q]$$\epsilon>0$$p\in N_{\epsilon}(q')$ , di mana N ϵ ( q ′ ) adalah beberapa lingkungan epsilon di sekitar q ′ ; dan yang kedua mengatakan bahwa [ q ] adalahkurva indiferensi yangtipisjika tidak tebal. Secara bahasa sehari-hari ini berarti ada beberapa tonjolan pada kurva indiferens tebal [ q ] , tetapi tidak ada tonjolan seperti itu pada kurva indiferen yang tipis.$p\sim q'$$N_{\epsilon}(q')$$q'$$[q]$$[q]$

Pada dasarnya, di atas adalah paparan singkat dari Pendekatan Geometris untuk Utilitas yang Diharapkan (Chatterjee & Krishna, 2006) . Menggunakan definisi kurva indiferensi yang tipis di atas, mereka menunjukkan dalam Lemma 2.3 bahwa (i) kontinuitas dan (ii) independensi menyiratkan kurva indiferen yang tipis (perhatikan bahwa mereka tidak menunjukkan bahwa kontinuitas sendiri menyiratkan kurva indiferen yang tipis; lih. Jawaban di mana-mana) . Definisi mereka bergantung pada dua konsep topologi berikut.

1. Asumsi kesinambungan. Semua himpunan bagian dan { q | p ≻ q } dari Δ , di mana p ∈ Δ , terbuka; di sini, ingat bahwa set terbuka adalah set yang setiap titik di dalamnya memiliki lingkungan yang terletak di set itu. Dengan demikian, gagasan tentang kesinambungan ini serupa dengan Anda.$\{q|q\succ p\}$$\{q|p\succ q\}$$\Delta$$p\in \Delta$
2. Asumsi kemerdekaan. Untuk semua , p ≻ q dan λ ∈ ( 0 , 1 ] menyiratkan bahwa λ p + ( 1 - λ ) r ≻ λ q + ( 1 - λ ) r , ini memungkinkan untuk beberapa aljabar yang bagus.$p,q,r\in\Delta$$p\succ q$$\lambda\in (0,1]$ $$\lambda p+(1-\lambda)r\succ \lambda q+(1-\lambda)r;$$

Sekarang, apa yang mereka perlihatkan dalam Lemma 2.3 pada dasarnya adalah bahwa jika Anda memiliki kurva ketidakpedulian dan mempertimbangkan beberapa epsilon-lingkungan N ϵ ( q ′ ) di sekitar q ′ ∈ [ q ] , maka p ∈ N ϵ ( q ′ ) akan tidak menyiratkan bahwa p ∼ q ′ untuk kecil sewenang-wenang ϵ > 0 . Yaitu, betapapun kecilnya, tidak ada lingkungan epsilon sedemikian rupa sehingga hanya berisi bundel yang tidak berbeda antara bundel dan $[q]$$N_{\epsilon}(q')$$q'\in [q]$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$\epsilon>0$ . Sebagai gantinya, setiap epsilon-neighborhood akan menyertakan poin yang benar-benar disukai untuk q ′ .$q'$$q'$

Untuk fungsi utilitas kontinu, saya pikir sangat berguna untuk mencatat bahwa gambar mereka dalam misalnya memiliki (Lebesgue) mengukur 0 (lih. Bagaimana membuktikan bahwa gambar kurva kontinu dalam R 2 memiliki ukuran 0 ? )$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$$0$