Penerapan Teorema Nilai Menengah untuk Keseimbangan Umum

Inilah masalah yang disajikan kembali dari Ross Starr Teori Ekuilibrium Umum .

Pertimbangkan ekonomi dua komoditas dengan fungsi permintaan berlebih $ Z (p) = (Z_1 (p), Z_2 (p)) $. Ruang harga adalah $ p \ dalam P = \ kiri \ {p | p \ in \ mathbb {R} ^ {2}, p \ geq 0, p_1 + p_2 = 1 \ kanan \} $. Biarkan $ Z (p) $ terus menerus, dibatasi dan memenuhi Hukum Walras sebagai kesetaraan, yaitu $ p_1Z_1 (p) + p_2Z_2 (p) = 0 $. Asumsikan $ Z_1 (0,1) & gt; 0 $, $ Z_1 (1,0) & lt; 0 $, $ Z_2 (0,1) & lt; 0 $, $ Z_2 (1,0) & gt; 0 $.   Menggunakan teorema nilai menengah dan Hukum Walras untuk menunjukkan bahwa ekonomi memiliki keseimbangan kompetitif. Artinya, tunjukkan bahwa ada vektor harga $ p * \ dalam P $ sehingga $ Z (p *) = (0,0) $.

Dan saya punya petunjuk: Karakterisasi $ Z (p) $ sebagai $ Z (\ alpha, 1- \ alpha) $ untuk $ 0 \ leq \ alpha \ leq 1 $. Gunakan teorema nilai menengah untuk menemukan $ 0 \ leq \ alpha \ leq 1 $ sehingga $ Z_1 (\ alpha, 1- \ alpha) = 0 $. Kemudian terapkan Hukum Walras.

Saya mengalami masalah menemukan $ \ alpha $, bagaimana saya bisa menemukannya?

Petunjuk yang lebih kuat: Tulis $ p_2 = 1-p_1 $, sehingga $ Z (p) = Z (p_1,1-p_1) $. Gunakan ketentuan $ Z_1 (0,1) & gt; 0, Z_1 (1,0) & lt; 0 $ dll. Dan teorema nilai menengah untuk menyatakan bahwa ada $ p_1 ^ * \ in (0,1) $ $ Z_1 itu (p_1 ^ *, 1-p_1 ^ *) = 0 $.

Saya tidak bisa memikirkan petunjuk yang bagus. Jika Anda kesulitan menggunakan informasi yang diberikan, (karena penerapan Walras + IVT cukup mudah), maka tidak ada banyak tips yang dapat membantu. Saya telah memilih untuk mengeluarkan setiap langkah secara eksplisit. Beri tahu saya jika Anda tidak memahami bagian, dan saya akan mencoba mengedit untuk membuatnya lebih jelas.

Di masa mendatang, akan lebih baik jika Anda mencoba dan menjelaskan bagian mana yang Anda hadapi, sehingga orang-orang dapat membantu Anda dengan lebih baik (dan juga untuk mencegah Anda menutup pertanyaan)

Kita punya:

$$ Z (\ vec p) = \ bigg (Z_1 (p_1, p_2), Z_2 (p_1, p_2) \ bigg) $$

dan dapat mengganti $ p_1 = 1 - p_2 $ seperti yang ditunjukkan oleh Herr K..

$$ Z (\ vec p) = \ bigg (Z_1 (p_1, 1 - p_1), Z_2 (p_1, 1-p_1) \ bigg) $$

$ Z_1 $ dapat diekspresikan sebagai fungsi dari satu variabel, $ Z_1 (p_1) $, sehingga Teorema Nilai Menengah dapat diterapkan.

Pada interval $ I = (0, 1) \ in \ mathbb {R} $, kami memiliki $ Z_1: I \ rightarrow \ mathbb {R} $, fungsi kontinu (dan dibatasi) jika diberikan

$$ \ infty & gt; Z_1 (p_1 = 0) & gt; 0 & gt; Z_1 (p_1 = 1) & gt; - \ infty $$

ada $ p_1 ^ * \ di (0, 1) $ sedemikian rupa sehingga $ Z_1 (p_1 ^ *) = 0 $

Dan oleh Hukum Walras,

$$ p_1 ^ * Z_1 (p_1 ^ *, 1-p_1 ^ *) + (1 - p_1 ^ *) Z_2 (p_1 ^ *, 1-p_1 ^ *) = 0 $$

$$ p_1 ^ * \ cdot 0 + (1 - p_1 ^ *) Z_2 (p_1 ^ *, 1-p_1 ^ *) = 0 $$

dan karena $ (1-p_1 ^ *) & gt; 0 $

$$ Z_2 (p_1 ^ *, 1-p_1 ^ *) = 0 $$

artinya $ Z (p_1 ^ *): = Z (p ^ * _ 1, p ^ * _ 2) = (0, 0) $