Kondisi Transversalitas dalam model pertumbuhan neoklasik

Dalam model pertumbuhan neo-klasik ada kondisi transversalitas berikut:

$$ \ lim_ {t \ rightarrow \ infty} \ beta ^ {t} u '(c_ {t}) k_ {t + 1} = 0, $$ di mana $ k_ {t + 1} $ adalah modal pada periode $ t $.

Pertanyaan saya adalah:

Bagaimana kita memperoleh kondisi ini?
Mengapa kita memerlukan ini, jika kita ingin mengesampingkan jalan tanpa akumulasi utang?
Mengapa pengganda Lagrange $ \ beta ^ {t} u '(c_ {t}) = \ beta ^ {t} \ lambda_ {t} $ nilai diskonto sekarang dari modal?

economic-growth dynamic-optimization

— Neta_1990
sumber

Lihat jawaban ini untuk perbedaan antara kondisi optimalitas transversalitas dan kendala eksogen solvabilitas , economics.stackexchange.com/a/13681/61 dan economics.stackexchange.com/a/11866/61

— Alecos Papadopoulos

Saya mencoba memberikan deskripsi non-matematis, bahasa sederhana dari intuisi di balik kondisi transversalitas dalam posting ini: medium.com/@alexanderdouglas/… Saya bukan ekonom makro, jadi saya mungkin salah. Jika demikian, saya berharap beberapa balasan akan segera muncul.

— Alexander Douglas

Ini harus menjadi komentar, karena Anda hanya menyediakan tautan ke konten eksternal. Juga, kondisi transverslaity tidak bergantung pada asumsi tentang pembentukan ekspektasi, karena itu adalah kondisi yang diberlakukan bahkan dalam model deterministik di mana ketidakpastian tidak ada. Dan itu tidak secara khusus terkait dengan utang pemerintah, tetapi dengan aset apa pun secara umum. Poin dasarnya adalah sebagai berikut: dengan asumsi tidak ada motif warisan (kita tidak peduli dengan keturunan atau masyarakat kita), itu adalah suboptimal untuk "meninggalkan" kekayaan yang tidak dikonsumsi. Itu semua yang ada untuk itu.

— Alecos Papadopoulos

CONTD Ini cukup mudah dengan cakrawala yang terbatas, dan, seperti yang biasa terjadi, ketika cakrawala menjadi "tidak terbatas" menjadi sedikit kurang langsung dan jelas.

— Alecos Papadopoulos

Jawaban:

Kondisi transversalitas mungkin lebih mudah dipahami jika kita mulai dari masalah dengan horizon yang terbatas.

Dalam versi standar, tujuan kami adalah untuk $$ \ maks _ {\ {c_t, k_ {t + 1} \} _ {t = 0} ^ T} \ sum_ {t = 0} ^ T \ beta ^ t u (c_t) $$ tunduk pada $$ \ begin {aligned} f (k_t) -c_t-k_ {t + 1} & amp; \ ge0, \ quad t = 0, \ dots, T & amp; & amp; \ text {(batasan sumber daya / anggaran)} \\ c_t, k_ {t + 1} & amp; \ ge0, \ quad t = 0, \ dots, T & amp; & amp; \ text {(batasan non-negatif)} \ end {aligned} $$ dengan $ k_0 $ diberikan. Lagrangian terkait (dengan pengganda $ \ lambda_t $, $ \ mu_t $, dan $ \ omega_t $) adalah $$ \ maks _ {\ {c_t, k_ {t + 1}, \ lambda_t, \ mu_t, \ omega_t \} _ {t = 0} ^ T} \ sum_ {t = 0} ^ T \ beta ^ tu (c_t) + \ lambda_t (f (k_t) -c_t-k_ {t + 1}) + \ mu_tc_t + \ omega_tk_ {t + 1} $$ FOC adalah $$ \ begin {align} c_t: & amp; & amp; \ beta ^ tu '(c_t) - \ lambda_t + \ mu_t & amp; = 0, \ quad t = 0, \ dots, T \\ k_ {t + 1}: & amp; & amp; - \ lambda_t + \ lambda_ {t + 1} f '(k_ {t + 1}) + \ omega_t & amp; = 0, \ quad t = 0, \ dots, T-1 \\ k_ {T + 1}: & amp; & amp; - \ lambda_T + \ omega_T & amp; = 0, \ quad T + 1 \ tag {1} \ end {align} $$ dengan kondisi kendur komplementer Kuhn-Tucker: untuk $ t = 0, \ dots, T $, $$ \ begin {align} \ lambda_t (f (k_t) -c_t-k_ {t + 1}) & amp; = 0 & amp; \ lambda_t & amp; \ ge0 \\ \ mu_tc_t & amp; = 0 & amp; \ mu_t & amp; \ ge0 \\ \ omega_tk_ {t + 1} & amp; = 0 & amp; \ omega_t & amp; \ ge0 \ tag {2} \ end {align} $$ Karena batasan sumber daya harus mengikat dalam semua periode, yaitu $ \ lambda_t & gt; 0 $ untuk semua $ t $, maka pada periode terakhir $ T $, $ \ omega_T = \ lambda_T & gt; 0 $, yang pada gilirannya menyiratkan $ k_ {T + 1} = 0 $.

Biasanya kita menganggap $ c_t & gt; 0 $ untuk semua $ t $ (kondisi Inada), dan ini berarti $ \ mu_t = 0 $ untuk semua $ t $. Jadi konsumsi FOC menjadi $$ \ beta ^ tu '(c_t) = \ lambda_t \ tag {3} $$

Melihat kondisi $ (1) $ $ (2) $ dan $ (3) $ dalam periode terakhir $ T $, kita dapatkan $$ \ beta ^ Tu '(c_T) k_ {T + 1} = 0 $$ Memperluas ini ke cakrawala tak terbatas, kita mendapatkan kondisi transversalitas $$ \ lim_ {T \ hingga \ infty} \ beta ^ Tu '(c_T) k_ {T + 1} = 0 $$

Intuisi dari kondisi transversalitas adalah sebagian bahwa "tidak ada tabungan di periode terakhir". Tetapi karena tidak ada "periode terakhir" di lingkungan cakrawala yang tak terbatas, kita mengambil batas seiring berjalannya waktu hingga tak terbatas.

— Herr K.
sumber

Menurut pendapat saya, derivasi terbaik adalah dengan logika. Pikirkan seperti ini: Jika satu-satunya hal yang kami katakan kepada rumah tangga adalah memaksimalkan utilitasnya, perilaku yang optimal akan berarti hanya membuat hutang tak terbatas dan mengkonsumsi secara tak terbatas. Ini bukan solusi yang masuk akal. Oleh karena itu kami memerlukan kondisi optimal lainnya. Ini harus menjawab pertanyaan 2.

Dalam pengaturan horizon yang terbatas, kelayakan akan dicapai dengan utang yang harus dibayar kembali pada periode terakhir. Ini tidak dimungkinkan dalam pengaturan horizon tak terbatas. Namun, "mengesampingkan akumulasi utang", seperti yang Anda sarankan, adalah kondisi yang terlalu ketat (Kondisi transversalitas memungkinkan utang!).

Untuk menjawab pertanyaan 3, mari kita lihat istilah $ \ beta ^ t \ lambda_t k_ {t + 1} $. Ini berarti keuntungan utilitas (marjinal) (dalam nilai sekarang) dari pengalihan $ k_ {t + 1} $ unit modal ke periode t dan mengkonsumsinya. Jika keuntungan utilitas ini positif pada tak terbatas, kita dapat meningkatkan utilitas secara keseluruhan dengan mengkonsumsi lebih banyak pada "periode tak terbatas", maka jalur modal kita tidak akan optimal.

Untuk pertanyaan 1: Untuk menurunkan kondisi ini, Anda dapat membuat argumen logis yang baru saja saya buat, menunjukkan bahwa tanpa memegang kondisi transversalitas, jalur modal tidak optimal, atau, untuk bukti matematika, Anda dapat memeriksa, misalnya, Per Krusell's Notes (Meskipun agak sulit untuk dipahami)

— Chris tie
sumber