Log-linierisasi persamaan Euler dengan istilah harapan

Ada beberapa sumber daya online yang tersedia untuk membantu dengan linierisasi log (misalnya, di sini atau di sini ). Namun, log-linierisasi di mana ekspektasi terlibat sedikit rumit karena log tidak bisa begitu saja "melewati" operator ekspektasi. Bisakah seseorang membantu aljabar dalam contoh ini?

Saya memiliki persamaan Euler (persamaan 1) di manaθ=(1-γ)/(1-1/ψ). Saya mencoba untuk mendapatkan ekspresi untuk tingkat bebas risiko dan ekspresi untuk premium ekuitas. Bagaimana saya harus melakukan ini?

$$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$$ $\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Tampaknya dari link kedua di atas bahwa saya harus mulai dengan mengganti variabel menarik seperti begitu . Kemudian mengikuti langkah-langkah yang diberikan, sepertinya saya harus sampai pada (persamaan 2)$C_t = c e^{\tilde C_t}$

$$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$$

Tapi kemana saya harus pergi dari sini?

EDIT:

1. Saya telah menyalin persamaan 1 langsung dari catatan yang saya miliki. Ini mungkin adalah kasus bahwa istilah di sebelah kanan, , harus dalam tanda kurung, ( 1 + R i , t + 1 ) . Dalam upaya awal saya di log-linierisasi saya telah memperlakukannya seperti ini.$1 + R_{i,t+1}$$(1 + R_{i,t+1})$

2. Dalam persamaan 2, saya telah mengikuti langkah-langkah dalam instruksi yang dapat ditemukan di tautan kedua di awal. Jadi, dan R m tanpa waktu subskrip adalah nilai-nilai ini dalam kondisi mapan.$R_i$$R_m$

3. adalah pengembalian portofolio pasar dan R i adalah return on asset i .$R_m$$R_i$$i$

EDIT 2:

Terima kasih atas komentar yang bermanfaat. Jadi, dari apa yang telah saya kumpulkan sejauh ini, saya harus mendapatkan sesuatu seperti ini:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$$

Maka ini akan menyiratkan bahwa tingkat bebas risiko ditemukan sebagai berikut:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$$

Apakah ini benar? Dan sekarang, untuk menyelesaikan pertanyaan, bagaimana saya menemukan premi ekuitas?

Mari kita abaikan sejenak keberadaan nilai yang diharapkan. Jika ini adalah pengaturan deterministik, linierisasi melalui pengambilan log akan langsung, dan tanpa trik tautan yang disediakan OP. Mengambil log natural di kedua sisi persamaan pertama kita dapatkan:

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$$

Set

$$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$$

Juga, perhatikan bahwa ini merupakan perkiraan standar untuk menulis setidaknya untuk | a | < 0,1 . Biasanya ini adalah kasus dengan tingkat pertumbuhan dan tingkat keuangan sehingga kami dapatkan$\ln (1+a) \approx a$$|a|<0.1$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$$

yang merupakan hubungan dinamis yang jelas yang menghubungkan tiga variabel yang ada. Jika dalam model, kondisi mapan ditandai dengan konsumsi dan konstan hasil konstan, maka itu kita akan memiliki c t + 1 = 0 dan hubungan mapan akan$\hat c_{t+1} =0$

$$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$$

Tapi kami melakukan semua ini mengabaikan nilai yang diharapkan. Ekspresi kita adalah , bukan hanya f ( C t , C t + 1 , R m , t + 1 , R i , t + 1$E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$$f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$. Masukkan ekspansi Taylor orde pertama dari . Kami membutuhkan pusat ekspansi. Mewakili empat variabel hanya dengan z t + 1 (tidak ada salahnya bahwa variabel dengan t -index hadir di z t + 1 ). Kami memilih untuk memperluas fungsi sekitar E t ( z t + 1 ) . Begitu$f()$$\mathbf z_{t+1}$$t$$\mathbf z_{t+1}$$E_t(\mathbf z_{t+1})$

$$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$$

Kemudian

$$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$$

Jelas ini adalah perkiraan, yaitu memiliki kesalahan, bahkan jika hanya karena ketidaksetaraan Jensen. Tetapi ini adalah praktik standar. Kemudian kita melihat bahwa semua pekerjaan sebelumnya yang kita lakukan pada versi deterministik, dapat diterapkan dalam versi stokastik memasukkan nilai-nilai yang diharapkan bersyarat di tempat variabel. Jadi. ditulis$(3)$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$$

Tetapi di mana nilai-nilai kondisi-mapan ? Nah, nilai steady state dalam konteks stokastik agak sulit - apakah kita berpendapat bahwa variabel kita (yang sekarang diperlakukan sebagai variabel acak) menjadi konstanta ? Atau adakah cara lain untuk mendefinisikan kondisi mapan dalam konteks stokastik?

Ada lebih dari satu cara. Salah satunya, adalah "kondisi mantap pandangan ke depan yang sempurna", di mana kami meramalkan dengan sempurna nilai yang belum tentu konstan (ini adalah konsep "keseimbangan sebagai pemenuhan harapan"). Ini misalnya digunakan dalam buku Jordi Gali yang disebutkan dalam komentar. "Steady-state steady state Sempurna" didefinisikan oleh

$$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$$

Di bawah konsep ini, mis. menjadi persamaan. ( 3 ) yang sekarang merupakan persamaan "kondisi stabil stokastik masa depan".$(7)$$(3)$

Jika kita menginginkan kondisi yang lebih kuat, dengan mengatakan bahwa variabel menjadi konstan dalam kondisi mapan, maka masuk akal juga untuk berpendapat bahwa, sekali lagi, perkiraan mereka pada akhirnya akan sempurna. Dalam hal ini, kondisi mapan ekonomi stokastik sama dengan kondisi ekonomi deterministik, yaitu persamaan. .$(4)$

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$$f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$$f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$

$$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$$ $x$

EDIT:

$f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$$f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$$E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$$\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$$\beta$

$$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$$ $$E[\epsilon] = 0.$$ $$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$$

Masalah Anda tampaknya seperti persamaan harga aset dengan preferensi rekursif (Epstein-Zin). Ketika tertarik pada harga aset, kita harus berhati-hati dengan linierisasi "ekonomi makro" yang biasa. Perkiraan seperti itu setara dengan kepastian, artinya koefisien solusi linierisasi tidak bergantung pada ukuran guncangan. Selain itu, semua variabel dalam solusi linierisasi akan berfluktuasi di sekitar kondisi stabil deterministik mereka. Akibatnya, risiko premia menjadi nol, yang jenisnya tidak tepat.

Salah satu solusinya adalah dengan menggunakan metode perturbasi tingkat tinggi (urutan ke-2 untuk mendapatkan premia risiko konstan, urutan ke-3 untuk premia yang bervariasi waktu). Ini mudah dilakukan dengan perangkat lunak yang ada (misalnya Dynare) jika Anda ingin menyelesaikan model secara numerik (dalam hal ini juga tidak perlu membuat linier secara manual). Jika bukan solusi analitik (perkiraan) lebih disukai, cara yang biasa adalah untuk melinearisasi dinamika kuantitas (misalnya pertumbuhan konsumsi), kemudian mendapatkan harga aset langsung dari persamaan Euler, menghitung ekspektasi menggunakan asumsi lognormalitas, seperti dalam Bansal & Yaron (2004) .

Misalnya, jika variabel huruf kecil adalah log, persamaan Euler yang biasa dapat ditulis ulang sebagai

$$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$$

$m_{t+1},r_{t+1}$

$$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$$

$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

$$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$$

dan dengan demikian kita harus memiliki

$$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$$

Untuk benar-benar menghitung harga aset, orang akan melakukannya

• menyatakan log-SDF sebagai fungsi linear dari beberapa variabel keadaan dan guncangan (misalnya pertumbuhan konsumsi log dalam kasus CRRA)

• linierisasi pengembalian dalam hal rasio harga dividen kayu (perkiraan Campbell-Shiller), gantikan dengan (1).

• menyatakan rasio log D / P sebagai variabel linear dalam keadaan, kemudian gunakan metode koefisien yang tidak ditentukan untuk mendapatkan solusi yang memuaskan (1).

Dalam praktiknya ini sedikit lebih rumit (terutama dengan preferensi EZ, ketika seseorang harus menggunakan pendekatan pertama untuk mendapatkan pengembalian pasar yang memasuki SDF, kemudian kedua kalinya untuk pengembalian lainnya), tetapi lebih banyak detail dapat ditemukan misalnya dalam Bansal & Yaron yang tertaut. kertas.