Dalam model Keynesian Baru log- , apa arti , , ?

Ini mungkin pertanyaan yang aneh, tetapi sayangnya saya bingung dengan persyaratan. Mari kita anggap model New Keynesian log-linierisasi seperti yang disarankan oleh Gali di sini: http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

Pertanyaan pertama saya adalah, tampaknya nilai tetap diasumsikan melakukan log-linierisasi , output, tetapi apakah ini nilai konstan, atau keseluruhan jalur output tetap? Secara ekuivalen, apakah tentang bagaimana output akan berkembang jika berevolusi tanpa faktor stokastik dan kesalahan sesuai dengan laju alami jangka panjang? $Y$ $Y_t$ $Y$ $Y$ $Y_t$

Pertanyaan kedua saya, terkait dengan pertanyaan pertama, adalah apakah mengacu pada total output atau output normal. Yaitu, jika ekonomi memiliki tingkat pertumbuhan output positif, akankah tumbuh? Atau apakah output dinormalisasi yang tidak berubah tanpa elemen stokastik? $Y_t$ $Y_t$

Pertanyaan ketiga saya adalah, apa benar-benar berarti. Seperti yang saya pahami, itu hanya . Apakah ini benar? $y_t$ $\log Y_t$

Fakta bahwa persamaan konsumsi euler ada tampaknya mendukung intuisi bahwa adalah jalur output yang stabil, bukan nilai stabil yang konstan, karena suku bunga riil seringkali positif untuk ekonomi. Kebingungan saya muncul dari sini, dan saya tidak yakin apakah ini pemahaman yang benar. $Y$

macroeconomics

— NewK
sumber

Jawaban:

Log-linierisasi dilakukan di sekitar kondisi mapan dengan nol inflasi, output konstan, dan markup konstan di atas biaya marjinal, sebagaimana dinyatakan pada slide 11 dari presentasi Galí yang Anda tautkan. Oleh karena itu memang dimaksudkan sebagai nilai konstan, tingkat tunak output di sekitar yang dilakukan linierisasi log. hanyalah tingkat total output dalam periode , sementara adalah nilai log dari total output, seperti yang Anda katakan. $Y$ $Y_t$ $t$ $y_t=\log Y_t$

Beberapa poin tambahan yang tampaknya relevan di sini:

Derivasi dari model New Keynesian dasar ini dilakukan dengan asumsi bahwa tidak ada pertumbuhan output tren kondisi mapan. Kami hanya dapat memastikan bahwa persamaan log-linierisasi kira-kira benar untuk situasi di mana setiap penyimpangan dari kondisi mapan nol-pertumbuhan ini cukup kecil. Jelas, karena kita hidup di dunia dengan tren pertumbuhan yang sangat positif, ini berpotensi menjadi masalah - jadi ini adalah kekhawatiran yang sangat valid di pihak Anda.
Ketika itu terjadi, saya percaya bahwa persamaannya sangat mirip ketika kita melakukan log-linier di sekitar kondisi stabil dengan pertumbuhan produktivitas tren positif (tetapi mempertahankan asumsi tren nol inflasi). Khususnya, ketika dinyatakan dalam hal kesenjangan output dan tingkat bunga alami seperti dalam persamaan Galí (10), persamaan Euler antarwaktu sama persis (meskipun perhatikan bahwa laju alamiah kondisi mapan lebih tinggi, di mana adalah tingkat pertumbuhan tren log). Kurva New Keynesian Phillips sedikit berantakan: dalam kasus preferensi log , ada beberapa pembatalan yang bagus dan kami mendapatkan NKPC yang persis sama, tetapi untuk $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$ $g_a$ $\sigma=1$ $\sigma$ tingkat diskonto pada inflasi masa depan tidak lagi . Ini semua jauh lebih menyebalkan untuk ditangani, itulah sebabnya Galí menghindarinya untuk eksposisi sederhana dan terjebak dengan kondisi stabil pertumbuhan nol. $\beta$
Seperti disebutkan di atas, baik , , maupun tidak "dinormalisasi keluaran" dalam bentuk apa pun. Namun, gap output didefinisikan dalam persamaan Galí (7) secara efektif dinormalisasi output log, mengurangi log "output alami" yang kita harapkan dalam fleksibel -harga dunia diberikan produktivitas log . Dalam pengertian ini, model dapat mengakomodasi fluktuasi produktivitas; tetapi seperti yang dinyatakan di atas, jika fluktuasi ini terlalu besar, maka log-linierisasi sekitar pertumbuhan tren nol mulai runtuh, dan jika kita harus menulis ulang NKPC dalam bentuk yang berbeda untuk menjelaskan hal ini. $Y$ $Y_t$ $y_t$ $\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$ $y_t^n$ $a_t$ $\sigma\neq 1$
Akhirnya, saya agak bingung dengan paragraf terakhir, tetapi Anda tampaknya menyiratkan bahwa model tersebut mungkin memiliki tingkat pertumbuhan positif, "karena suku bunga riil sering positif untuk ekonomi". Ini adalah kesalahpahaman: tingkat bunga riil kondisi mapan dalam model ini adalah positif karena agen dalam model memiliki preferensi waktu murni, dengan tingkat diskonto . Jika Anda melihat di bawah persamaan Galí (10), Anda melihat bahwa ketika tidak ada produktivitas, tingkat bunga riil "alami" adalah , di mana . $\beta<1$ $r_t^n = \rho$ $\rho=-\log \beta$

— nominal kaku
sumber

Apakah Anda yakin adalah ? Saya pikir itu biasanya penyimpangan persen.

y_{t}

$y_t$

\log Y_{t}

$\log Y_t$

— cc7768

Ya, di sini Gali berarti , tidak . Dalam kasus ini, yang terakhir akan menjadi berlebihan karena ia mengurangi oleh "tingkat output alami" pula untuk mendapatkan kesenjangan output . Secara lebih umum, saya telah melihat huruf kecil menggunakan kedua cara, kadang-kadang untuk log dan kadang-kadang untuk penyimpangan log dari kondisi mapan (ketika yang pertama, Anda biasanya menambahkan topi atau sesuatu untuk yang terakhir). Bahkan Galí tidak menggunakan konvensi yang konsisten, meskipun ketika menurunkan model NK pada halaman 66 dari teksnya ia mengatakan "huruf kecil menunjukkan log dari variabel asli".

y_{t} = \log Y_{t}

$y_t=\log Y_t$

y_{t} = \log Y_{t} - \log Y

$y_t=\log Y_t-\log Y$

y_{t}^{n}

$y_t^n$

{\tilde{y}}_{t}

$\tilde{y}_t$

— nominal kaku

Posting berikut ini menjelaskan dengan cara yang agak lebih mudah apa sebenarnya yang terjadi ketika kita mencatat model linier.

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

Melewati contoh yang diberikan harus menjelaskan apa langkah-langkah tunggal itu.

— Andreas Dibiasi
sumber

Pengungkapan penuh: Saya belum membaca catatan kuliah yang Anda berikan dengan hati-hati, tapi saya pikir saya bisa menjawab pertanyaan Anda.

Sunting: Kepala, dengan tidak hati-hati membaca tautan yang disediakan oleh pertanyaan, saya melewatkan sesuatu.

Model standar Keynesian Baru (seperti yang disajikan Gali) dimodelkan tanpa pertumbuhan. Jika Anda menuliskan modelnya maka Anda dapat merepresentasikannya sebagai persamaan perbedaan:

0 = E_{t} [F (X_{t + 1}, X_{t}, X_{t - 1}, Z_{t})]

$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$

di mana berisi semua variabel yang relevan dan mewakili guncangan terhadap ekonomi. "Kondisi mapan" biasanya mengacu pada keadaan dunia di mana adalah konstan (pikirkan solusi stabil untuk persamaan perbedaan / diferensial) dan , sehingga Anda dapat menuliskannya sebagai solusi untuk: $X_t$ $Z_t$ $X_t$ $Z_t = 0$

0 = F (X, X, X, 0)

$0 = F(X, X, X, 0)$

dalam hal ini akan menjadi nilai kondisi mapan (perhatikan bukan subskrip waktu - kadang-kadang juga dilakukan dengan menunjukkan kondisi mapan dengan bilah overhead ). Inilah yang dia panggil dan itu adalah nilai konstan. $X$ $\bar{X}$ $Y$

Untuk pertanyaan kedua, saya belum membaca dengan seksama, jadi saya tidak bisa 100% yakin, tetapi biasanya ketika variabel ditulis sebagai , referensi nilai aktual yang diambil (alias jika Anda menyelesaikan model dan disimulasikan dengan tepat , ini adalah nilai yang dimilikinya). $X_t$

Untuk pertanyaan ketiga, saya pikir pemahaman yang lebih dalam tentang log-linierisasi akan menjawabnya untuk Anda. Log-linierisasi pada intinya hanyalah ekspansi Taylor di sekitar kondisi mapan. Pertimbangkan persamaan generik . Ada 3 langkah dasar untuk log-linierisasi (menyegarkan ingatan saya di sini ). $f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

Ambil log
Ekspansi Taylor Orde Pertama
Aljabar

Kami pertama-tama mengambil log,

\ln (f (X_{t}, Y_{t})) = \ln (g (Z_{t}))

$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$

Jika kita melakukan ekspansi Taylor orde Pertama di sekitar kondisi mapan, maka kita dapat menulis:

\ln (f (X_{t}, Y_{t})) \approx \ln (f (X, Y)) + \frac{f_{x} (X, Y)}{f (X, Y)} (X_{t} - X) + \frac{f_{y} (X, Y)}{f (X, Y)} (Y_{t} - Y)

$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$

\ln (g (Z_{t})) \approx \ln (g (Z)) + \frac{g_{z} (Z)}{g (Z)} (Z_{t} - Z)

$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$

Jadi kita bisa menulis:

\ln (f (X, Y)) + \frac{f_{x} (X, Y)}{f (X, Y)} (X_{t} - X) + \frac{f_{y} (X, Y)}{f (X, Y)} (Y_{t} - Y) \approx \ln (g (Z)) + \frac{g_{z} (Z)}{g (Z)} (Z_{t} - Z)

$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$

Ingatlah bahwa dalam kondisi mapan dan saya juga akan mengalikannya dengan satu di beberapa tempat ( dll ...), jadi $f(X, Y) = g(Z)$ $\frac{X}{X}$

\frac{X f_{x} (X, Y)}{f (X, Y)} \frac{(X_{t} - X)}{X} + \frac{Y f_{y} (X, Y)}{f (X, Y)} \frac{(Y_{t} - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_{z} (Z)}{g (Z)} \frac{(Z_{t} - Z)}{Z}

$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$

Sekarang tentukan , , dan . Ini adalah persentase penyimpangan dari (dan sesuai untuk dan ). Kemudian Anda dapat menulis persamaan log-linierisasi sebagai: $\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$ $\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$ $\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$ $X_t$ $X$ $Y_t$ $Z_t$

\frac{X f_{x} (X, Y)}{f (X, Y)} \hat{x_{t}} + \frac{Y f_{y} (X, Y)}{f (X, Y)} \hat{y_{t}} \approx \frac{Z g_{z} (Z)}{g (Z)} \hat{z_{t}}

$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$

Dua hal terakhir. Pertama, satu kehalusan yang membuat saya lengah ketika pertama kali saya beralih antara persen penyimpangan dan nilai-nilai sejati dan Anda mungkin ingin menyadarinya; nilai-nilai yang biasanya tidak negatif bisa negatif karena itu hanya berarti bahwa persentase di bawah kondisi mapan. Kedua, bentuk-bentuk fungsional biasanya membuat penyederhanaan ini cukup baik seperti yang mungkin Anda lihat dalam persamaan log-linierisasi yang disajikan.

Dalam contoh ini, Gali menggunakan seperti yang terlihat di jawaban lain, jadi semoga ini memberikan beberapa intuisi untuk apa yang terjadi di tempat lain. $y_t := \log Y_t$

Semoga ini bisa membantu.

— cc7768
sumber

Jika Anda melihat slide 7, Anda akan melihat bahwa hanyalah output-log, bukan penyimpangan persentase. Anda mungkin ingin menyesuaikan jawaban Anda untuk menghindari kebingungan.

y_{t}

$y_t$

— Alecos Papadopoulos

Persamaan permintaan uang memang terlihat seperti itu hanya log-output, tetapi kemudian ia memasukkannya langsung ke dalam persamaan Euler log-linierisasi lalu apakah ? Mungkin saja notasinya salah dan terjebak dalam kebiasaan buruk (terutama karena saya tidak terlalu terbiasa dengan model NK). Keluar pena dan kertas meskipun saya sangat curiga bahwa @AlecosPapadopoulos dan nominalnya kaku benar. Segera kembali: O

c_{t} = \log C_{t}

$c_t = \log C_t$

— cc7768

Saya sungguh-sungguh mengucapkan selamat atas pendekatan Anda - "ketidakpercayaan dalam otoritas" kadang-kadang menggali harta. Menunggu hasil pena dan kertas Anda (masih menjadi favorit saya).

— Alecos Papadopoulos

Jangan khawatir - kedua konvensi ini cukup umum. Saya tidak berpikir bahwa persamaan permintaan uang meraihnya di kedua arah, karena koheren untuk menafsirkan istilah-istilah dalam persamaan itu sebagai log atau penyimpangan log dari kondisi mapan.

— nominal kaku

Satu kasus di mana Galí jelas menggunakan variabel huruf kecil sebagai log daripada deviasi log dari kondisi tunak adalah , yang seperti yang disebutkan oleh Alecos didefinisikan sebagai pada slide 7; jika ini bukan didefinisikan sebagai penyimpangan log dari kondisi tunak sebagai gantinya, maka kita tidak akan memiliki mencegat dalam persamaan Euler antarwaktu. Tapi masih ada beberapa ambiguitas tentang hanya karena itu tidak terlalu penting: persamaannya benar di bawah kedua interpretasi.

i_{t}

$i_t$

i_{t} = - \log Q_{t}

$i_t=-\log Q_t$

i = ρ

$i=\rho$

ρ

$\rho$

y_{t}

$y_t$

— nominal kaku