Apakah mungkin untuk mendapatkan kurva ketidakpedulian yang diberikan fungsi permintaan marshallian?

Dalam dua dunia yang baik, akankah permintaan marshallian berfungsi seperti di D(p,m)mana p adalah harga satu barang dan m pendapatan menghasilkan fungsi utilitas atau fungsi kurva indiferen? Jika demikian, bagaimana cara memecahkan masalah ini?

microeconomics utility consumer-theory

— Howard Black
sumber

Ya, dalam beberapa kondisi. Ini adalah masalah keterpaduan klasik : untuk diskusi terperinci, lihat beberapa catatan bagus oleh Kim Border .

Beberapa kondisi teknis lain diperlukan, tetapi kondisi yang paling ekonomis adalah bahwa matriks Slutsky harus selalu semidefinit simetris dan negatif. Untuk menjadi beton, jika kita mendefinisikan th elemen dari matriks Slutsky di menjadi maka kita harus memiliki untuk semua , dan juga untuk setiap vektor kita harus memiliki untuk semua The keharusan $ij$ $(p,m)$

σ_{i j} (p, m) = \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial p_{j}} + D_{j} (p, m) \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\sum_{i} \sum_{j} σ_{i j} (p, m) v_{i} v_{j} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ dari kondisi-kondisi ini segera mengikuti dari teori konsumen dasar, yang menunjukkan bahwa jika permintaan Marshallian berasal dari maksimalisasi fungsi utilitas yang dibatasi, maka matriks Slutsky adalah semidefinit simetris dan negatif. Tetapi kecukupan kondisi ini (bersama dengan beberapa asumsi teknis lainnya) bagi kami untuk mendukung fungsi utilitas adalah masalah yang lebih rumit, dan untuk mendapatkan detailnya saya merekomendasikan catatan Border atau sumber mikro canggih lainnya.

Jika, dengan anggapan bahwa kondisi Slutsky berlaku , Anda menginginkan cara praktis yang kasar (mengabaikan seluk-beluk teknis) untuk mendukung kurva ketidakpedulian dalam kasus dua baik yang umum, cara paling sederhana mungkin menggunakan pengetahuan Anda tentang permintaan untuk menentukan perubahan kompensasi. dalam pengeluaran yang perlu disesuaikan untuk perubahan harga yang diberikan. Khususnya, untuk gunakan identitas yang, pengetahuan yang diberikan tentang fungsi permintaan Marshallian , adalah persamaan diferensial dalam fungsi pengeluaran . Dimulai dengan beberapa nilai awal yang menghasilkan beberapa utilitas yang tidak dikenal $i=1,2$

\frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = h_{i} (p, u) = D_{i} (p, e (p, u))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$ , kita tahu bahwa . Kemudian, dengan memvariasikan , kita dapat mengintegrasikan persamaan diferensial di atas untuk untuk mendapatkan untuk setiap . Dan kemudian kita bisa mendapatkan vektor permintaan untuk apa .

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

h (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}) = D (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

Karena tuntutan Hicksian ini semua sesuai dengan utilitas yang sama , mereka berada pada kurva indiferensi yang sama. Dengan memvariasikan , kita akan dapat melacak banyak titik berbeda pada kurva indiferens ini. Bahkan, jika permintaan berperilaku cukup baik, maka kita dapat menelusuri seluruh kurva ketidakpedulian dengan memvariasikan cukup di kedua arah. (By the way, "menelusuri kurva ketidakpedulian" adalah semua yang bisa kita lakukan dalam hal apapun: sejak kardinalitas utilitas tidak relevan dengan permintaan Marshallian, kita hanya bisa mengambil sifat ordinal seperti kurva indiferen dan pemesanan mereka.) $\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— nominal kaku
sumber