Hubungan antara fungsi pengeluaran dan banyak lainnya!

14

Saya tidak mengerti hubungan antara permintaan Hicksian, permintaan walrasian (marshallian), fungsi pengeluaran dan fungsi utilitas tidak langsung (termasuk fungsi nilai V (b)). Saya menemukan subjek ini sangat sulit dan tidak dapat memahami bagaimana mereka berhubungan satu sama lain karena formalitas yang digunakan dalam buku-buku yang saya miliki!

Saya mengerti bagaimana mendapatkan utilitas tidak langsung, namun, saya harus merasa nyaman untuk menunjukkan bagaimana saya dapat menggunakannya untuk menurunkan fungsi pengeluaran dan sisanya dan bagaimana mereka berbeda dalam dualitas!

microeconomics consumer-theory utility

— Arie
sumber

14

Menindaklanjuti diagram MWG yang sangat baik dalam jawaban Amstell, pengamatan mendasar yang diperlukan adalah bahwa memegang fixed, dan adalah invers satu sama lain . memberi tahu kami jumlah yang perlu kami keluarkan untuk mendapatkan sejumlah utilitas , sementara memberi tahu kami jumlah utilitas maksimum yang bisa kami dapatkan dari pengeluaran tertentu . Setiap kali kita ingin mengkonversi dari utilitas menjadi kekayaan, kita menggunakan ; dan setiap kali kita ingin mengubah dari kekayaan menjadi utilitas, kita menggunakan . $p$ $e$ $v$ $e$ $u$ $v$ $w$ $e$ $v$

Semua identitas kunci dapat diturunkan dari pengamatan ini. Sebagai contoh, misalkan kita ingin memperoleh identitas untuk . Kita sudah tahu identitas yang sesuai untuk fungsi pengeluaran, . Untuk mengubah ini menjadi identitas untuk , kami mengganti $\partial v(p,w)/\partial p_i$ $\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$ $v$ $w=e(p,u)$ , memperoleh , dan membedakan sehubungan dengan . Aturan rantai menyiratkan $v(p,e(p,u))=u$ $p_i$ yang, jika kita bagi dengandi kedua sisi, menjadi identitas Roy.

\frac{\partial v (hal, e (hal, kamu))}{\partial {hal}_{saya}} + \frac{\partial v (hal, e (hal, kamu))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (hal, kamu)}{\partial {hal}_{saya}} = 0 ⟺ \frac{\partial v (hal, w)}{\partial {hal}_{saya}} = - \frac{\partial v (hal, w)}{\partial w} \cdot x_{saya} (hal, w)

$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

- \partial v / \partial w

$-\partial v/\partial w$

Atau, anggaplah kita ingin menurunkan persamaan Slutsky, yang memberikan hubungan antara turunan permintaan Marshallian dan Hicksian (menguraikan perubahan permintaan Marshallian menjadi efek substitusi dan pendapatan). Secara analogi ke atas, kita dapat mengganti ke dalam permintaan Marshallian untuk mendapatkan . Kemudian, membedakan sehubungan dengan $w=e(p,u)$ $x(p,w)$ $x(p,e(p,u))=h(p,u)$ di kedua sisi dan menerapkan aturan rantai memberi $p_i$ Secara umum, saya pikir heuristik "beralih antaradansesuai kebutuhan menggunakandan" memungkinkan Anda untuk mendapatkan hampir semuanya di sini. (A heuristik yang sama juga berguna jika Anda pernah berurusan dengan sistem permintaan Frisch, di mana marginal utilitasmemainkan peran yang sama bahwadanlakukan di Marshallian dan sistem permintaan Hicks.)

\frac{\partial x (hal, e (hal, kamu))}{\partial {hal}_{saya}} + \frac{\partial x (hal, e (hal, kamu))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (hal, kamu)}{\partial {hal}_{saya}} = \frac{\partial h (hal, kamu)}{\partial {hal}_{saya}} ⟺ \frac{\partial x (hal, w)}{\partial {hal}_{saya}} = \frac{\partial h (hal, kamu)}{\partial {hal}_{saya}} - \frac{\partial x (hal, w)}{\partial w} \cdot x_{saya} (hal, w)

$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

w

$w$

u

$u$

v

$v$

e

$e$

λ

$\lambda$

w

$w$

u

$u$

$\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$ $w=e(p,u)$ $\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$ teorema amplop .

$\partial v/\partial p_i$ $p_i$ $\partial v/\partial w$ $\partial v/\partial p_i$ $\partial e/\partial p_i$

— nominal kaku
sumber

13

Tidak yakin berapa banyak ini akan membantu, tetapi diagram di Mas-Colell hal.75 adalah sesuatu yang selalu saya pikirkan ketika menurunkan fungsi-fungsi ini. Saya tidak yakin buku apa yang Anda gunakan, tetapi Ekonomi Mikro oleh Mas-Colell et al. adalah sumber daya lulusan. Tapi saya lebih suka Analisis Ekonomi Mikro oleh Varian. Jauh lebih mudah dibaca dan masih memiliki konten penting yang diperlukan untuk pekerjaan tingkat pascasarjana. Dari pengalaman saya, mendapatkan sebanyak mungkin tuntutan Walrasian dan hanya mengerjakan proses itulah yang membuat saya nyaman dengan pemahaman. Jika Anda mencari contoh, saya bisa menerapkan beberapa rumus untuk menunjukkan kepada Anda cara kerjanya, tetapi Anda tampaknya memahami ini. Saya juga memiliki halaman dan halaman masalah latihan jika Anda membutuhkan sumber daya lain juga. Semoga ini membantu :)

Mikroekonomi: Mas-Colell

Pembaruan: Berikut adalah beberapa masalah latihan dari beberapa set masalah saya. Hati-hati dengan yang terakhir. Nikmati

Jika memungkinkan, hitung Hicksian, Walrasian, Pengeluaran, dan Tidak Langsung untuk masing-masing berikut ini:

$e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$
$e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$
$h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$
$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

Edit; Perbarui untuk menjelaskan # 4

$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

$(x_{1}, x_{2})$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$

Salah satu sifat dari Permintaan Walrasian adalah bahwa Hukum Walras berlaku.

$px = w$

Cara sederhana untuk menunjukkan bahwa Hukum Walras tidak berlaku adalah dengan menyumbat tuntutan untuk kendala pendapatan.

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$

— Amstell
sumber